Lineare Algebra

Injektiv Surjektiv Bijektiv

In diesem Artikel werden die Injektivität, die Surjektivität und die Bijektivität in voller Ausführlichkeit behandelt. Jeder der drei Begriffe wird nicht nur formal definiert, sondern auch grafisch veranschaulicht, mit Beispielen untermauert und es werden wichtige Eigenschaften zu den Begriffen erläutert. Darüber hinaus werden Beweisstrategien angegeben, welche dann an Beispielaufgaben angewandt werden.

Wenn du den Inhalt dieses Artikels schnell verstehen willst, ist unser Theorievideo zu diesem Thema genau das Richtige für dich. Dort haben wir das Wichtigste in Kürze zusammengefasst.

Um dir das Thema auch praktisch näherzubringen, eignen sich bestimmt unsere VideosÜbungsaufgabe I“ und „Übungsaufgabe II“ bestens für dich.

Inhaltsübersicht

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv einfach erklärt

Die Begriffe Injektiv, Surjektiv und Bijektiv beschreiben Eigenschaften von Funktionen bzw. Abbildungen, also Abbildungseigenschaften. Eine Abbildung oder eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung zwischen zwei Mengen A und B. Durch eine Abbildung f wird also jedem Element x \in A aus der der Definitionsmenge A genau ein Element y \in B aus der Zielmenge B zugeordnet. Dieses Element y wird auch mit f(x) bezeichnet. Die Menge der Elemente aus B, auf die die Abbildung auch tatsächlich abbildet, wird als Bildmenge bezeichnet.

Injektiv

Die Injektivität als Eigenschaft einer Funktion beschreibt die Tatsache, dass jedes Element der Zielmenge maximal einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, dass keine zwei verschiedenen Elemente der Definitionsmenge auf das gleiche Element der Zielmenge abgebildet werden. Ist eine Funktion injektiv, so wird sie auch linkseindeutig genannt und als Injektion bezeichnet. Eine linkseindeutige Funktion muss nicht per Voraussetzung auf alle Elemente in der Zielmenge abbilden. Das bedeutet, dass die Bildmenge kleiner sein kann als die Zielmenge.

Definition Injektiv

Konkret formuliert ist eine injektive Abbildung wie folgt definiert:

Eine Abbildung f: A\rightarrow B zwischen den zwei Mengen A und B heißt injektiv, wenn zu jedem y \in B höchstens ein x \in A mit f(x)=y existiert.

In formaler Schreibweise kann diese Definition auch folgendermaßen notiert werden:

\forall x_1,x_2\in A:\left(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2\right)

Ausgesprochen bedeutet dies: Sind die Funktionswerte einer injektiven Funktion für zwei Elemente der Definitionsmenge dieselben, so müssen die beiden Elemente bereits gleich sein.

Grafische Darstellung der Injektivität

Werden die beiden Mengen A und B mit ihren Elementen in einem Mengen-Diagramm dargestellt, so kann die Abbildung f durch Pfeile dargestellt werden, welche von Elementen aus der Definitionsmenge zu den entsprechenden Elementen in der Zielmenge laufen.

Injektivität, Injektiv, Surjektiv, Bijektiv, Zielmenge, Bildmenge, Definitionsmenge, Funktion
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Injektivität Grafik

In einer solchen Darstellung wird die Injektivität der Funktion dadurch deutlich, dass auf kein Element der Zielmenge B mehr als ein Abbildungspfeil trifft.

Wird eine Funktion betrachtet, die von einem reellen Intervall in eine Teilmenge der reellen Zahlen abbildet, so kann diese Funktion durch einen herkömmlichen Funktionsgraphen veranschaulicht werden. Hierbei spiegelt sich die Injektivität in der Tatsache wider, dass jede waagrechte Gerade den Graphen einer linkseindeutigen Funktion höchstens einmal schneidet.

Beispiele: Injektive Funktionen

Die Abbildung, die einem Studenten einer Universität seine Matrikelnummer zuweist, ist eine injektive Abbildung. Es gibt nämlich keine zwei Studenten an einer Universität, die dieselbe Matrikelnummer besitzen.

  • f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto5x ist injektiv
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x^3 ist injektiv
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x^2 ist nicht injektiv
  • f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},x\mapsto x^2 ist injektiv

Eigenschaften injektiver Funktionen

  • Stetige Funktionen, die von einem reellen Intervall in die reellen Zahlen abbilden sind genau dann injektiv, wenn sie auf dem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend sind.
  • Sind zwei Funktionen f: A \rightarrow B und g: B \rightarrow C injektiv, so gilt das auch für die Komposition (Verkettung) g\circ f: A\rightarrow C
  • Aus der Injektivität von g\circ f folgt die Injektivität der Abbildung f
  • Eine Funktion f: A\rightarrow B ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen A_1, A_2\subseteq A der Definitionsmenge A gilt: f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)

Injektivität beweisen

In vielen Aufgabenstellungen ist zu zeigen, dass eine Abbildung injektiv ist. In der Regel ist für die zu untersuchende Abbildung eine Abbildungsvorschrift angegeben. Dadurch lässt sich die Injektivität einer Funktion f: A\rightarrow B mit folgender Beweisidee zeigen.

Zunächst wird angenommen dass die Funktionswerte f(x_1) und f(x_2) zu den Elementen x_1 und x_2 der Definitionsmenge A gleich sind:

f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)

Lässt sich nun zeigen, dass daraus folgt, dass die Elemente x_1 und x_2 identisch sind, so ist die Funktion f injektiv.

{\Longrightarrow x}_1=x_2

Soll gezeigt werden, dass die betrachtete Abbildung nicht injektiv ist, so genügt es zwei unterschiedliche Elemente der Definitionsmenge zu finden, welche durch die Abbildung f auf ein und dasselbe Element y \in B geschickt werden.

Diese Beweisidee soll nun an konkreten Beispielaufgaben durchgeführt werden.

Aufgaben mit Lösungen zur Injektivität

Zunächst soll die Funktion f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto e^x auf Injektivität überprüft werden.

Hierzu wird erst einmal angenommen, dass für x_1 \in \mathbb{R} und x_2 \in \mathbb{R} gilt:

f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)

Dies bedeutet:

e^{x_1}=e^{x_2}

Wird auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus angewandt ergibt sich:

ln\left(e^{x_1}\right)=x_1=x_2=ln\left(e^{x_2}\right)

Somit wurde gezeigt, dass die Exponentialfunktion injektiv ist.

Auf dieselbe Art läuft der Beweis, dass die Funktion f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto 5x injektiv ist.

Zunächst wird wieder angenommen, dass für x_1 \in \mathbb{R} und x_2 \in \mathbb{R} gilt:

f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)

Ausgeschrieben lautet diese Annahme folgendermaßen:

5x_1=5x_2

Daraus folgt direkt x_1=x_2 und die Injektivität der Funktion ist gezeigt.

Surjektiv

Surjektivität einer Funktion bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge ein nicht leeres Urbild besitzt. Eine surjektive Funktion wird auch als rechtstotal bezeichnet und sie wird Surjektion genannt.

Definition Surjektiv

Eine surjektive Funktion kann wie folgt definiert werden:

Eine Abbildung f: A\rightarrow B zwischen den zwei Mengen A und B heißt surjektiv, wenn zu jedem y \in B mindestens ein x \in A mit f(x)=y existiert.

In formaler Schreibweise lautet die Bedingung folgendermaßen:

\forall\ y\in\ B\ \exists\ x\in\ A:f\left(x\right)=y

Grafische Darstellung der Surjektivität

In einem Mengen-Diagramm kann die Surjektivität folgendermaßen dargestellt werden:

Surjektiv, Bijektiv, Injektiv, Zielbereich, Definitionsbereich, Urmenge, Abbild
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Surjektivität Grafik

Hierbei wird die Surjektivität dadurch deutlich, dass auf jedes Element der Zielmenge B mindestens ein Abbildungspfeil trifft.

Beispiele: Surjektive Funktionen

Die Funktion, die jedem Studenten einen Geburtsmonat zuweist, ist surjektiv.

  • f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto5x+8 ist surjektiv
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto sin\left(x\right) ist nicht surjektiv
  • f:\ \mathbb{R}\rightarrow[-1,1],x↦sin(x) ist surjektiv
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x^2 ist nicht surjektiv
  • f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_0^+,x\mapsto x^2 ist surjektiv

Eigenschaften surjektiver Funktionen

  • Sind zwei Funktionen f: A \rightarrow B und g: B \rightarrow C surjektiv, so gilt das auch für die Komposition (Verkettung) g\circ f: A\rightarrow C
  • Aus der Surjektivität von g\circ f folgt die Surjektivität der Abbildung g

Surjektivität beweisen

Soll für eine Funktion f: A\rightarrow B deren Surjektivität nachgewiesen werden, so bietet sich folgende Beweisstrategie an:

Da für jedes y \in B ein x \in A mit y=f(x) existieren muss, wird diese Gleichung erst einmal formuliert:

y=f\left(x\right)

Anschließend wird diese Gleichung nach x aufgelöst und überprüft, ob der erhaltene Ausdruck für x, der von y abhängt, auch für alle y \in B ein Element der Definitionsmenge A ist. In diesem Fall ist die Funktion surjektiv.

Wie diese Strategie konkret durchgeführt wird, soll an nun folgenden Beispielaufgaben gezeigt werden.

Aufgaben mit Lösungen zur Surjektivität

Als erstes soll die Surjektivität der Funktion f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto x^3 gezeigt werden.

Dazu wird erst einmal folgende Gleichung formuliert:

y=x^3

Diese wird nun nach x umgestellt. Es ergibt sich:

x=\sqrt[3]{y}

Da \sqrt[3]{y} für alle y\in\mathbb{R} auch in \mathbb{R} liegt, ist die Funktion somit surjektiv.

Genauso läuft der Nachweis, dass die Funktion f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto 5x+8 surjektiv ist.

Zunächst wird die Gleichung y=5x+8 notiert, welche anschließend nach x umgestellt wird:

x=\frac{y-8}{5}

Da \frac{y-8}{5} für alle y\in\mathbb{R} ein Element aus \mathbb{R} ist, ist auch die Funktion f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto 5x+8 surjektiv.

Bijektiv

Die Eigenschaft der Bijektivität einer Abbildung ist gegeben, wenn die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Das heißt, dass sie zum einen verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (Injektivität) und zum anderen auch jedes Element der Zielmenge trifft (Surjektivität). Für endliche Mengen besitzen daher die Definitionsmenge, die Bildmenge und die Zielmenge einer bijektiven Abbildung gleich viele Elemente. Umgekehrt ist eine Abbildung bijektiv, sobald die Anzahlen dieser drei Mengen übereinstimmen. Eine bijektive Abbildung wird auch als Bijektion bezeichnet und sie besitzt stets eine Umkehrabbildung. Sie ist also invertierbar.

Definition Bijektiv

Eine Abbildung f: A\rightarrow B zwischen den zwei Mengen A und B heißt bijektiv, wenn zu jedem y \in B genau ein x \in A mit f(x)=y existiert.

Die Abbildung ist also bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Grafische Darstellung der Bijektivität

Wird eine Bijektion in einem Mengendiagramm dargestellt, sieht das wie folgt aus:

Bijektiv, Surjektiv, Injektiv, Bildmenge, Definitionsbereich, Wertebereich, Abbildung, Urmenge
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Bijektivität Grafik

In einer solchen Darstellung einer bijektiven Abbildung, muss von jedem Element aus A genau ein Abbildungspfeil ausgehen und auf jedes Element aus B muss wiederum genau ein Abbildungspfeil auftreffen.

Beispiele: Bijektive Funktionen

Wird jedem monogam verheiratetem Menschen sein Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zugeordnet, so stellt dies eine Bijektion zwischen allen verheirateten Menschen dar.

  • f:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto10x+4 ist bijektiv mit der Umkehrabbildung f^{-1}:\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto\frac{x-4}{10}
  • f:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+,x\mapsto x^2 ist bijektiv
  • f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x^3 ist bijektiv

Eigenschaften bijektiver Funktionen

Seien A und B endliche Mengen, die gleich viele Elemente enthalten. Dann gilt für die Abbildung f: A\rightarrow B:

  • Ist f injektiv, so ist f auch surjektiv und somit bijektiv
  • Ist f surjektiv, so ist f auch injektiv und somit bijektiv

Sind zwei Funktionen f: A \rightarrow B und g: B \rightarrow C bijektiv, so ist auch die Komposition (Verkettung) g\circ f: A\rightarrow C bijektiv. Die Umkehrfunktion lautet in diesem Fall \left( g\circ f \right)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

Ist g\circ f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv

Bijektivität beweisen

Aufgrund der Definition der Bijektivität ist offensichtlich, wie gezeigt werden kann, dass eine Abbildung bijektiv ist. Für diese Abbildung muss sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität nachgewiesen werden.

Zusammenfassung: Injektiv Surjektiv Bijektiv

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität beschreiben also Eigenschaften von Abbildungen, die in der Regel relativ leicht nachzuweisen sind. Für die Injektivität und die Surjektivität wurden hierfür praktische Beweisstrategien aufgezeigt. Zu Nachweis der Bijektivität ist per Definition sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität der Funktion nachgewiesen werden.

Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe I

Betrachten wir nun eine Übungsaufgabe, um dir das Thema näherzubringen.

Injektiv Surjektiv Bijektiv: Übungsaufgabe I
Injektiv Surjektiv Bijektiv: Übungsaufgabe I

Entscheide, ob die folgende Abbildung injektiv, surjektiv, oder bijektiv ist. Begründe deine Antwort.

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

x \rightarrow 2x^2 + 6x - 8

Wie du siehst bildet die betrachtete Funktion die reellen Zahlen wieder auf die reellen Zahlen ab. Das heißt, es lässt sich ein Funktionsgraph zu der Funktion zeichnen. Bei der Lösung der Aufgabe kann es dir helfen, dir zu überlegen wie in etwa dieser Funktionsgraph aussieht.

Die Lösung zu dieser Aufgabe mit einer verständlichen Erklärung findest du in unserem zugehörigen Video.

Injektiv Surjektiv Bijektiv Übungsaufgabe II

Die folgende Aufgabe um die Abbildungseigenschaften zu bestimmen ist etwas komplexer.

Injektiv Surjektiv Bijektiv: Übungsaufgabe II
Injektiv Surjektiv Bijektiv: Übungsaufgabe II

Entscheide ob die folgende Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Begründe deine Antwort.

f: \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{Z}

n \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac {n}{2}, wenn\,n\,gerade\\ \\ -\frac {n+1}{2}, wenn\,n\,ungerade\\ \end{matrix} \right

Bei der Lösung der Aufgabe ist es wichtig, dass du dir erst einmal bewusst machst, wie die Definitionsmenge und die Zielmenge aussehen.

In unserem Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du diese Aufgabe bearbeiten kannst.


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