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Isotherme Zustandsänderung

In diesem Beitrag widmen wir uns der isothermen Zustandsänderung. Du erfährst wie der Verlauf im p-V- sowie T-s-Diagramm aussieht und wie sich die thermischen Zustandsgrößen verhalten. In unseren anderen Beiträgen erhältst du alle wichtigen Informationen über die isobare , isochore und die adiabatische Zustandsänderung .

Zustandsänderungen von Gasen sind komplexe Prozesse. Zur Vereinfachung können thermodynamische Vorgänge in Teilprozesse zerlegt werden. Hierbei werden eine oder auch mehrere Zustandsgrößen als konstant angenommen. Ein Beispiel für einen komplexen thermodynamischen Vorgang ist der Kreisprozess eines Verbrennungsmotors. Erst durch die Aufgliederung in einzelne Arbeitstakte lässt sich die Funktionsweise mit Hilfe von thermodynamischen Gesetzen erklären.

„Isotherm“ ist griechisch und bedeutet „gleiche Temperatur“. Das bedeutet, dass die Temperatur bei der Zustandsänderung konstant bleibt. T=konst. → T₁=T₂. Der Druck und das Volumen ändern sich hingegen. Mit der isothermen Expansion und der isothermen Kompression gibt es zwei Möglichkeiten die Temperatur konstant zu halten. Schauen wir uns beide an.

Inhaltsübersicht

Isotherme Expansion und Kompression

Bei der isothermen Expansion wird einem Gas Wärme zugeführt, wodurch es sich ausdehnt und Volumenarbeit verrichtet. Durch die Volumenausdehnung wird die Temperatur konstant gehalten.

Bei der isothermen Kompression wird durch äußere Arbeit das Volumen komprimiert und verdichtet. Dadurch entsteht Wärmeenergie, welche abgeführt werden muss.
Die innere Energie $\Delta U$ ändert sich durch Wärmetransport oder Verrichtung von Arbeit. Für die Änderung gilt:

$\Delta U=\frac{3}{2}\cdot N\cdot k\cdot \Delta T$ bzw. $\Delta U=\Delta Q\ + \Delta W$

Die zweite Gleichung entspricht dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik .

N = Teilchenanzahl
k = Boltzmann-Konstante
$\Delta T$ = Temperaturveränderung

Da sich die Temperatur aber nicht ändert und demnach $\Delta T =0$ gilt, ändert sich die innere Energie auch nicht. Ebenso ist die Enthalpie H von der Veränderung der Temperatur abhängig und bleibt demnach bei einer isothermen Zustandsänderung gleich.

$\Delta U=0$ und $\Delta H=0$ .

Wärme

Bei der isothermen Expansion wird dem Gas eine Wärme Q zugeführt, wodurch es sich ausdehnt und die Volumenarbeit -W verrichtet.

Q= -W .

Bei der isothermen Kompression hingegen wirkt auf das Gas von außen eine Arbeit W. Das Volumen wird kleiner und die dabei entstehende Wärme -Q muss abgeführt werden.

-Q= W .

Die bei gleicher Temperatur zu verrichtende Arbeit ist bei der Kompression und der Expansion betragsmäßig identisch. Da es sich außerdem um einen reversiblen Prozess handelt, kann die Dissipationsarbeit $W_{diss}$ vernachlässigt werden.

Isotherme Kompression Isotherme Zustandsänderung innere Energie transportierte Wärme verrichtete Arbeit — Isotherme Kompression

Thermische Zustandsgleichung

Setzen wir die konstant bleibende Temperatur in das ideale Gasgesetz ein, dann folgt daraus:

$p\cdot V=n\cdot R\cdot T=m\cdot R_i\cdot T$

n = Stoffmenge [mol]
R = universelle/molare Gaskonstante [8,3144598 $\frac {kg \cdot m^2}{s^2 \cdot mol \cdot K}$ ]
T = Temperatur [K]
= individuelle/spezifische Gaskonstante
m = Masse [kg]
p = Druck [Pa]
V = Volumen []

für $T_1=T_2\rightarrow p_1 V_1=n\cdot R\cdot T_1=p_2 V_2=n\cdot R\cdot T_2$

$\rightarrow p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2$

$\rightarrow \frac{p_1}{p_2} =\frac{V_2}{V_1}$

Anders als bei der isochoren und isobaren Zustandsänderung ist dieser Term nun umgekehrt proportional und als Gesetz von Boyle-Mariotte bekannt. Je nachdem welche Größe wir suchen, können wir dann die Formel umstellen.

p-V- und T-s-Diagramm

Betrachten wir nun das p-V-Diagramm und das T-s-Diagramm. Die Zustandskurve verläuft im p-V-Diagramm wie eine gleichseitige Hyperbel. Diese wird Isotherme genannt.

p-V-Diagramm — Isotherme Zustandsänderung: p-V-Diagramm

Der Druck sinkt von Zustand 1 auf 2, wohingegen das Volumen steigt.

Im T-s-Diagramm stellt sich ein paralleler Verlauf zur x-Achse ein, da sich die Temperatur nicht ändert.

T-s-Diagramm — Isotherme Zustandsänderung: T-s-Diagramm

Die Fläche unter der Kurve entspricht der Summe aus der Wärme Q und der Dissipationsarbeit. Bei der isothermen Zustandsänderung entspricht diese Fläche auch der Volumenänderungsarbeit und demnach auch der Fläche im p-V-Diagramm. Da die Enthalpie und die Änderung der inneren Energie gleich Null sind, kann bewiesen werden:

$Q = W_{diss} = -W_v = T\Delta S$

Bei einem reversiblen Prozess kann die Dissipationsarbeit vernachlässigt werden und wir erhalten den Zusammenhang zwischen der Wärme und der verrichteten Arbeit.

Berechnung der Volumenarbeit

Die Fläche unter der Isotherme im p-V-Diagramm entspricht der verrichteten Arbeit W und lässt sich bei Annahme eines idealen Gases mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:

$W_v= -\int_{1}^{2}pdV$

Lösen wir die thermische Zustandsgleichung nach p auf

$p=\frac{m\cdot R_i\cdot T}{V}$

und setzen p in die Gleichung der Volumenänderungsarbeit ein, erhalten wir:

$W_v= -\int_{1}^{2}m\cdot R_i\cdot T\cdot\frac{dV}{V}$

Da sowohl T, als auch m und R_i konstant sind ergibt sich:

$W_v= -m\cdot R_i\cdot T\cdot (ln(V_2)\ -\ln(V_1))= m\cdot R_i\cdot T\cdot (ln(V_1)\ -\ln(V_2))$

$= m\cdot R_i\cdot T\cdot ln\frac{V_1}{V_2}$

Setzen wir für $m\cdot R_i\cdot T$ stattdessen p_1V_1 ein, erhalten wir schließlich:

$W_v= p_1\cdot V_1\cdot ln\frac{V_1}{V_2}$

Druckänderungsarbeit

Die Druckänderungsarbeit entspricht bei der isothermen Zustandsänderung der Volumenänderungsarbeit. Die Gleichungen können wir durch das Gesetz von Boyle-Mariotte ineinander überführen.

$\frac {p_1}{p_2} = \frac {V_2}{V_1} \rightarrow \ W_t= p_1\cdot V_1\cdot ln\frac{V_1}{V_2}= p_1\cdot V_1\cdot ln\frac{p_2}{p_1}$

Entropie

Die in einem System vorhandene Entropie ist von der Aufnahme bzw. Abgabe von Wärme abhängig. Die Änderung der Entropie sieht folgendermaßen aus:

$\Delta S = \int_{1}^{2}\frac{dQ \ +\ dW_{diss}}{T}$

Wie wir bereits wissen gilt T = konst. und $W_{diss} = 0$ .

Daraus folgt für die Formel der Entropieänderung:

$\Delta S = \int_{1}^{2}\frac{dU \ +\ pdV}{T} = \int_{1}^{2}\frac{pdV}{T}$

Durch Umformen mit Hilfe der thermischen Zustandsgleichung erhalten wir das Entropiedelta in Abhängigkeit zur Volumenveränderung:

$\Delta S = \int_{1}^{2}\frac{m\cdot R_i\cdot T\cdot dV}{V\cdot T} = m\cdot R_i\cdot \int_{1}^{2}\frac{dV}{V} = m\cdot R_i\cdot ln\frac{V_2}{V_1}$

Wollen wir die Entropieänderung über den Druck beschreiben, müssen wir das Gesetz von Boyle-Mariotte anwenden:

$\Delta S = m\cdot R_i\cdot ln\frac{p_1}{p_2}$

Die Entropie lässt sich in einem T-s-Diagramm darstellen. Es gilt:

$\int\ TdS = Q + W_{diss}$

Fassen wir kurz zusammen, was wir gelernt haben. Bei der isothermen Zustandsänderung bleibt die Temperatur konstant. Die Zustandskurve im p-V-Diagramm entspricht einer Hyperbel und im T-s-Diagramm ist sie eine Konstante. In Summe ist die Änderung der inneren Energie gleich null.

p-V- und T-s-Diagramm — Isotherme Zustandsänderung: p-V- und T-s-Diagramm

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