Mathe Grundlagen

Binomialkoeffizient

In diesem Beitrag geht es um den Binomialkoeffizient, der auch als n über k bezeichnet wird. Wir beginnen mit einer kurzen Erklärung, in der die wichtigsten Informationen zum Binomialkoeffizienten zusammengefasst sind. Im Anschluss schauen wir und die Formel näher an und zeigen dir wie du den Binomialkoeffizient berechnen kannst.

Alle wichtigen Aspekte bekommst du auch bei uns im Video erklärt, verständlich und auf den Punkt gebracht. Schaue doch mal rein!

Inhaltsübersicht

Binomialkoeffizient Erklärung

Alleine stehend kann der Binomialkoeffizient genutzt werden, um zu bestimmen wie viele Möglichkeiten es gibt k Objekte aus einer Menge n zu ziehen. Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung , ist er zudem unverzichtbar.

Auf seine Rolle, als Koeffizient in der Binomialverteilung ist auch seine Namensgebung zurückzuführen. Aufgrund seiner häufigen Verwendung, nutzt man üblicherweise die verkürzte Schreibweise \binom{n}{k} . Wenn man über den Binomialkoeffizienten spricht, ist die Ausdrucksweise n über k am geläufigsten. Vielleicht hast du aber auch schon die Bezeichnung k aus n gehört. Diese ist allerdings weniger weit verbreitet.

Definition Binomialkoeffizient :

Formal ausgedrückt handelt es sich beim Binomialkoeffizienten um eine mathematische Funktion. Diese findet besonders Anwendung in der Stochastik,  insbesondere in der Kombinatorik . Mit seiner Hilfe kann man bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt k Objekte, aus einer Menge n anordnen.

Binomialkoeffizient Formel

Ausgeschrieben sieht die Formel für den Binomialkoeffizienten folgendermaßen aus.

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}

N über k setzt sich zusammen aus der Fakultät von n, geteilt durch die Fakultät von k, multipliziert mit der Fakultät von n-k. 

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Binomialkoeffizient berechnen

Um den Binomialkoeffizienten zu berechnen kannst du einfach n und k in die oben stehende Formel einsetzen.

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Binomialkoeffizient berechnen

Um beispielsweise n über k für \binom{20}{3} zu berechnen kannst du 20 und 3 in die Formel einsetzen und erhälst \binom{20}{3}=\frac{20!}{3!\cdot (20-3)!}=1.140

Binomialkoeffizient Taschenrechner

Natürlich musst du den  Binomialkoeffizient nicht im Kopf berechnen. Bei einem wissenschaftlichen Taschenrechner,  kannst du den Binomialkoeffizienten mit der Funktion „nCr“ bestimmen. Tippe dazu einfach die obere Zahl deines Koeffizienten ein, benutze dann die Funktion „nCr“ auf deinem Taschenrechner. Auf deinem Display sollte ein „C“ erscheinen. Wenn du jetzt noch die untere Zahl eintippst kannst du so n über k  im Taschenrechner  ausrechnen.

Beispiel für Darstellung, auf Display des Taschenrechners (kann je nach Modell variieren) : 20C3 =1.140

Wenn du gerade keinen Taschenrechner zu Hand hast kannst du als Alternative, über das Internet,  diverse „Binomialkoeffizient Rechner“ finden.

Binomialkoeffizient Beispiel

Lotto ist eines der bekanntesten Glücksspiele in Deutschland. Es gibt beinahe unzählbar viele Zahlenkombinationen. Aber wie viele sind es wirklich? Mit Hilfe des Binomialkoeffizienten kannst du diese Frage ganz einfach beantworten. Beim klassischen Lotto musst du 6 Zahlen ankreuzen aus 49. Um die Anzahl für 6 Richtige zu bestimmen bilden wir zunächst den Koeffizienten von 6 und 49 und erhalten  \binom{49}{6}=13 983 816 Möglichkeiten, als Ergebnis.

Wie der Name schon sagt, musst du bei 6 Richtigen alle 6 angekreuzten Zahlen korrekt erraten. Du hast also nur eine Möglichkeit alles richtig zu haben. Anders gesagt musst du die eine Möglichkeit treffen von 13 938 816 Möglichkeiten.

Das bedeutete die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige aus 49 Zahlen zu ziehen, liegt bei P(A)=\frac{1}{13 938 816 }=0,000.000.072. Glückwunsch! Du hast gerade mit einer sehr einfachen Methode die offiziellen Wahrscheinlichkeit  berechnet im Lotto zu gewinnen.

Binomialkoeffizient Rechenregeln

Da der Binomialkoeffizient eine ungewöhnliche Form hat, fällt es am Anfang bestimmt nicht leicht mit ihm zu rechnen. Wir haben im Folgenden ein paar Regeln  für dich zusammengestellt, die dir helfen wenn du den Binomialkoeffizienten verwendest:

Regel 1) Es ist unmöglich 40 Kugeln aus 39 ziehen. Das heißt für den Fall k>n ist das Ergebnis immer 0.

Beispiel: \binom{39}{40}=0

Regel 2) Der Binomialkoeffizient kann niemals negativ sein. Es gilt \binom{n}{k}\geq0

Regel 3) Nehmen k und n den selben Wert an ist die Lösung immer 1. Du kannst dir merken, dass \binom{n}{k}=1 ist solange n=k ist.

Regel 4) Wenn k=0 ist ergibt sich als Ergebnis ebenfalls immer 1: \binom{n}{0}=1

Pascalsches Dreieck Binomialkoeffizient

Es gibt sogar noch eine weitere Möglichkeit den Binomialkoeffizienten zu bestimmen. Dafür benötigen wir das Pascalsche Dreieck. Bei diesem Schema werden die Zahlen pyramiedenförmig angeordnet. Dabei ergibt sich der Wert eines Kästchens aus der Summe der darüberliegenden Zahlen.

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Pascalsches Dreieck

Um den Binomialkoeffizient zu ermitteln, musst du einfach die Spalten und Zeilen des Dreiecks nummerieren. Beginne dabei immer mit 0.

Nach dem du die Tabelle so präpariert hast, kannst du das Ergebnis für n über k nun ganz einfach in der n ten Zeile und der k-ten Spalte ablesen

Ein Beispiel: Die Lösung für 4 über 3 kannst du beispielsweise in der 4. Zeile und der 3.Spalte ablesen.

Wenn du alles richtig abgelesen hast solltest du 4 als Ergebnis erhalten. Dies ist das selbe Ergebnis welches du mit dem Taschenrechner erhältst.

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