Funktionsgleichung

Eine Funktionsgleichung bestimmen zu können, ist in der Mathematik sehr wichtig. Deshalb erklären wir dir hier die wichtigsten Punkte, die du beachten musst und zeigen dir explizit, wie du bei linearen Funktionen und bei quadratischen Funktionen vorgehen kannst.

Am leichtesten verstehst du, wie du eine Funktionsgleichung berechnest, wenn du dir unser kurzes Video anschaust.

Inhaltsübersicht

Funktionsgleichung einfach erklärt
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Funktionsgleichung bestimmen: Geradengleichung aufstellen
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Allgemeines Verfahren: Funktionsgleichung bestimmen
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Funktionsgleichung einfach erklärt

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(00:16)

In der Analysis werden die Begriffe Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph regelmäßig und fast synonym verwendet. Man sagt beispielsweise die Funktion , mit der Funktionsgleichung f(x)=2x+3 hat als Funktionsgraphen eine Gerade. Die Funktionsgleichung gibt dir also die Abbildungsvorschrift an, und erklärt dir, was du berechnen musst.

Aber was ist überhaupt eine Funktion?

Man sagt, $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{W}$ ist eine Funktion, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet wird. Das bedeutet, dass du für jeden x-Wert ein eindeutiges Ergebnis bekommst und nicht mehrere verschiedene Möglichkeiten.

Um die zugehörige Funktionsgleichung zu bestimmen, die angibt, wie das zugeordnet wird, gibt es verschiedene Vorgehensweisen, je nachdem, was alles bekannt ist. In den nächsten Abschnitten zeigen wir dir das konkrete Vorgehen zuerst für lineare Funktionen und dann für die quadratischen.

Funktionsgleichung bestimmen: Geradengleichung aufstellen

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(01:15)

Wenn du eine Geradengleichung aufstellen möchtest, gibt es dazu verschiedene Möglichkeiten. Zuallererst solltest du dir über ihre allgemeine Form im Klaren sein. Eine Gerade wird immer durch eine lineare Funktionsgleichung beschrieben, die die folgende Form hat

$f(x) = m \cdot x + t.$

Das gibt dabei die Steigung der Gerade an und das den y-Achsenabschnitt, das heißt den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.

lineare Funktion Gerade Steigung Steigungsdreieck y-Achsenabschnitt — Graph einer linearen Funktion

Funktionsgleichung aufstellen am Graph

Hast du den Graphen einer linearen Funktion gegeben und willst die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen, dann gehst du folgendermaßen vor. Wir wollen die einzelnen Schritte auch direkt an obiger Abbildung durchführen.

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf

$f(x) = m \cdot x + t.$

Schritt 2: Bestimme den y-Achsenabschnitt . Weil das der Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse ist, kannst du es direkt ablesen. Im obigen Bild ist

t=-1 .

Schritt 3: Berechne als nächstes die Steigung der Gerade. Zeichne dazu am besten ein Steigungsdreieck ein. Dabei gilt

$\Delta x$ Wie viele Kästchen gehst du nach rechts/links?

$\Delta y$ Wie viele Kästchen gehst du nach oben/unten?

Die Steigung berechnest du nun als

$m = \cfrac{\Delta y }{\Delta x}.$

In unserem Beispiel ist das Steigungsdreieck türkis eingezeichnet. Du siehst sofort, dass du zwei Kästchen nach rechts gehst und ein Kästchen nach oben. Somit ist $\Delta x = 2$ und $\Delta y = 1$ und damit auch $m = \cfrac{1}{2} = 0,5$ .

Schritt 4: Setze die Werte und in die Funktionsgleichung ein. Du erhältst dann

$f(x) = 0,5 \cdot x -1.$

Funktionsgleichung aufstellen: Punkt und y-Achsenabschnitt

Noch leichter kannst du die Funktionsgleichung aufstellen, wenn du bereits den y-Achsenabschnitt gegeben hast. Dann brauchst du lediglich einen weiteren Punkt P(x|y) , um die Geradengleichung eindeutig zu bestimmen. Wenn du beispielsweise die Gleichung der Geraden mit y-Achsenabschnitt t=2 durch den Punkt P(2|8) bestimmen willst, gehst du folgendermaßen vor:

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf

$f(x) = m \cdot x + t.$

Schritt 2: Setze nun den gegebenen Wert ein. In unserem Beispiel erhältst du für somit

$f(x) = m \cdot x +2.$

Schritt 3: Als nächstes setzt du den x-Wert und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein

$8= m \cdot2 +2.$

Schritt 4: Löse diese Gleichung nun nach auf.

$8= m \cdot2 +2 \quad \quad \quad \bigg| -2$

$6= m \cdot2 \quad \quad \quad \quad \quad \bigg| \div 2$

3= m.

Schritt 5: Setze die Werte für und in die Funktionsgleichung ein und erhalte das Ergebnis

$f(x) = 3\cdot x +2.$

Funktionsgleichungen berechnen: Punkt und Steigung

Fast gleich gehst du vor, wenn du einen Punkt P(x|y) und die Steigung der Geraden gegeben hast. Wir führen das wieder an einem Beispiel durch und wollen die Gerade durch den Punkt P(-3|5) mit Steigung $m=-\frac{2}{3}$ bestimmen.

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf

$f(x) = m \cdot x + t.$

Schritt 2: Setze nun den gegebenen Wert der Steigung ein. In unserem Beispiel erhältst du für $m=-\frac{2}{3}$ somit

$f(x) = -\frac{2}{3} \cdot x +t.$

Schritt 3: Als nächstes setzt du den x-Wert und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung ein und vereinfachst so weit wie möglich

$5= -\frac{2}{3} \cdot (-3) +t$

5= 2+t.

Schritt 4: Löse diese Gleichung nun nach auf

$5= -\frac{2}{3} \cdot (-3) +t$

$5=2+t \quad \quad \quad \quad \bigg| -2$

3= t.

Schritt 5: Setze die Werte für und in die Funktionsgleichung ein und erhalte das Ergebnis

$f(x) = -\frac{2}{3} \cdot x +3.$

Funktionsterm bestimmen: Zwei Punkte

Du kannst die Gleichung einer linearen Funktion auch schon eindeutig bestimmen, wenn du nur zwei Punkte gegeben hast. Hier gibt es zwei Möglichkeiten, die wir dir beide kurz aufzeigen.

Steigungsdreieck Gerade lineare Funktion — Funktionsgleichung einer linearen Funktion durch zwei Punkte

Möglichkeit 1

Willst du wie im Bild die Funktionsgleichung der Gerade durch die beiden Punkte P(-3|2) und Q(5|6) bestimmen, so musst du dir überlegen, wie dein Steigungsdreieck aussieht, um daraus zu berechnen.

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf

$f(x) = m \cdot x + t.$

Schritt 2: Bestimme nun das Steigungsdreieck. Verwende dazu die Koordinaten der gegebenen Punkte

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}.$

In unserem Beispiel ergibt sich damit

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{6-2}{5-(-3)} = \cfrac{4}{8} = \cfrac{1}{2}.$

Schritt 3: Folge nun der Anleitung, um die Funktionsgleichung zu bestimmen, wenn die Steigung und ein Punkt gegeben sind. Ob du dazu oder verwendest, spielt keine Rolle.

Möglichkeit 2

Die andere Möglichkeit besteht darin, ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten zu lösen. Dazu setzt du einfach beide Punkte in die Funktionsgleichung ein:

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeinen Form auf

$f(x) = m \cdot x + t.$

Schritt 2: Setze die beiden Punkte ein und erhalte in unserem Beispiel

(I) $6 = m \cdot 5 + t$

(II) $2 = m \cdot (-3) + t$

Schritt 3: Löse eine der beiden Gleichungen nach auf und setze sie in die andere Gleichung ein. Berechne daraus . Wir wollen hier die Gleichung (I) auflösen und in (II) einsetzen:

(I) $6 = m \cdot 5 + t$

(I‘) $t = 6 - 5 \cdot m$

(I‘) in (II) $2 = (-3) \cdot m + 6 - 5 \cdot m$

(II‘) $2 = -8 \cdot m +6 \quad \quad \quad \bigg| -6$

$-4 = -8 \cdot m \quad \quad \quad \bigg| \div (-8)$

$\cfrac{-4}{-8} = \cfrac{1}{2} = 0,5= m$

Schritt 4: Setze nun das errechnete in (I) oder in (II) ein und bestimme damit . Wir wollen in (II) einsetzen und erhalten

$2 = 0,5 \cdot (-3) +t$

$2 = -1,5 +t \quad \quad \quad \bigg| +1,5$

3,5 = t

Schritt 5: Einsetzen der beiden Werte und liefert dir als Ergebnis

$f(x) = 0,5 \cdot x + 3,5.$

Damit kennst du alle Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kannst.

Funktionsgleichung Parabel

Mindestens genauso oft wird nach der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gefragt, deren Funktionsgraph eine Parabel darstellt. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung aufschreiben kannst. Jede davon bietet in bestimmten Situationen Vorteile und hat aber auch gewisse Nachteile. Die drei Möglichkeiten sind

(I) f(x) = ax^2 + bx + c Allgemeine Form

(II) f(x) = a(x-x_1)(x-x_2) faktorisierte Form für die Nullstellen x_1 und x_2

(III) f(x) = a(x-d)^2+e Scheitelpunktform für S(d|e).

Je nachdem, welche Werte du also vorliegen hast, bietet sich eine andere Darstellungsform der quadratischen Gleichung an. Hast du beispielsweise den Scheitelpunkt gegeben, verwendest du (III), kennst du dahingehend die beiden Nullstellen, so verwendest du die zweite Darstellungsweise.

Parabel quadratische Funktion Scheitel Nullstellen — Funktionsgraph einer quadratischen Funktion

Funktionsgleichung aufstellen am Graph

Wenn du nur den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion gegeben hast, bestimmst du die Funktionsgleichung am besten über die Scheitelpunktform. Das zeigen wir dir an obigem Beispiel:

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung allgemein in Scheitelpunktform auf:

f(x) = a(x-d)^2+e .

Schritt 2: Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes in die Funktionsgleichung ein. In unserem Beispiel ist das der Punkt . Es ist also und . Damit ergibt sich

f(x) = a(x-1)^2+4,5 .

Schritt 3: Nun brauchen wir noch einen weiteren Punkt, um die Unbekannte zu bestimmen. Hier wählst du am besten einen Punkt, den du gut ablesen kannst, zum Beispiel die Nullstelle . Diesen Punkt setzt du nun in die Gleichung ein und formst nach um

0 = a(4-1)^2+4,5

$0=9a+4,5 \quad \quad \quad \bigg| - 4,5$

$-4,5 = 9 a \quad \quad \quad \bigg| \div 9$

-0,5 = a.

Schritt 4: Setze in die Funktionsgleichung ein und multipliziere den Funktionsterm noch aus.

f(x) = -0,5(x-1)^2+4,5 = -0,5x^2+x+4.

Funktionsgleichung bestimmen: Punkt und Scheitel

Wenn du nicht den Funktionsgraphen angegeben hast, sondern nur einen Punkt und die Koordinaten des Scheitels, gehst du genau wie im oberen Fall vor. Dann musst du die Punkte nur noch einsetzen und nicht einmal mehr aus der Zeichnung ablesen!

Funktionsgleichung bestimmen: Punkt und Nullstellen

Ist ein Punkt und die beiden Nullstellen gegeben, dann behandelst du einen Spezialfall der drei gegebenen Punkte. Hier ist es am einfachsten, wenn du die Gleichung (II) für die Nullstellen verwendest. Hast du zum Beispiel die beiden Nullstellen x_1 = 0 und x_2=4 gegeben und weißt zusätzlich, dass der Punkt P(1|3) auf der Parabel liegen soll, dann gehst du folgendermaßen vor:

Schritt 1: Schreibe die Funktion in ihrer allgemeinen Notation auf:

$f(x) = a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2).$

Schritt 2: Setze nun beide Nullstellen ein und multipliziere die Klammern aus

$a \cdot (x-0)\cdot (x-4) = a\cdot (x^2-4x).$

Schritt 3: Bestimme die Unbekannte , indem du den anderen gegebenen Punkt einsetzt

$3 = a \cdot (1^2-4\cdot 1) = -3 \cdot a$

a = -1.

Schritt 4: Setze alle gefundenen Werte in die Gleichung ein

$f(x) = (-1) \cdot (x^2-4x) = -x^2+4x .$

Parabel Nullstellen — Parabel mit gegebenen Nullstellen

Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen: 3 Punkte

Um eine Parabel aus drei gegebenen Punkten zu errechnen, wenn du nichts über die Nullstellen oder den Scheitelpunkt weißt, bietet es sich an, alle Punkte in die Gleichung (I) einzusetzen. Dann erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, das du einfach auflösen kannst. Betrachten wir beispielsweise die Parabel durch die drei Punkte A(0|4) , B(2|-2) und C(7|0,5) .

Parabel quadratische Gleichung 3 Punkte — Funktionsgleichung einer Parabel durch drei Punkte

Um ihre Funktionsgleichung zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:

Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in ihrer allgemeine Form auf

f(x) = ax^2+bx+c

Schritt 2: Setze die drei Punkte , , und in die Gleichung ein

(I) $4 = a\cdot 0^2+b \cdot 0+c$

(II) $-2 = a\cdot 2^2+b \cdot 2+c$

(III) $0,5 = a\cdot 7^2+b \cdot 7+c$

Schritt 3: Löse das Gleichungssystem möglichst geschickt. In unserem Fall können wir aus Gleichung (I) direkt ablesen, dass gelten muss. Dies setzen wir nun in die beiden anderen Gleichungen ein und erhalten

(II) -2 = 4a+ 2b+4

(III) 0,5 = 49a+7b +4

Lösen wir (II) nach auf und setzen es in die dritte Gleichung ein, so erhalten wir

(II‘) b = -3-2a

(III‘) 0,5 = 49a+7(-3-2a) +4

0,5 = 49a-21-14a+4

$0,5 =35a-17 \quad \quad \quad \bigg| +17, \quad \div 35$

$\cfrac{17,5}{35}= 0,5 = a$

Einsetzen von a=0,5 in (II‘) ergibt b = -4 .

Schritt 4: Setze alle gefundenen Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung ein

f(x) = 0,5x^2-4x+4.

Allgemeines Verfahren: Funktionsgleichung bestimmen

Wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beziehungsweise einer quadratischen Funktion berechnen kannst, haben wir dir bereits ausführlich erklärt. Jetzt wollen wir noch kurz darauf eingehen, wie du im allgemeinen Fall vorgehst.

Schritt 1: Mache dir zuerst immer Gedanken über die allgemeine Form der Funktionsgleichung, die du bestimmen möchtest. Wie viele Unbekannte tauchen in dieser Gleichung auf?
Schritt 2: Um die Funktionsgleichung eindeutig bestimmen zu können, brauchst du bestimmte gegebene Informationen. Meistens sind das die Koordinaten von Nullstellen oder bestimmten anderen Punkten. Insgesamt brauchst du genauso viele Informationen wie Unbekannte.
Schritt 3: Stelle ein Gleichungsystem auf, indem du alle gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzt. Löse dieses Gleichungssystem möglichst geschickt auf.
Schritt 4: Schreibe am Ende die berechnete Gleichung noch einmal sauber auf.

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