Eine Funktionsgleichung bestimmen zu können, ist in der Mathematik sehr wichtig. Deshalb erklären wir dir hier die wichtigsten Punkte, die du beachten musst und zeigen dir explizit, wie du bei linearen Funktionen und bei quadratischen Funktionen vorgehen kannst.
Am leichtesten verstehst du, wie du eine Funktionsgleichung berechnest, wenn du dir unser kurzes Video anschaust.
In der Analysis werden die Begriffe Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph regelmäßig und fast synonym verwendet. Man sagt beispielsweise die Funktion , mit der Funktionsgleichung
hat als Funktionsgraphen eine Gerade. Die Funktionsgleichung gibt dir also die Abbildungsvorschrift an, und erklärt dir, was du berechnen musst.
Aber was ist überhaupt eine Funktion?
Man sagt, ist eine Funktion, wenn jedem
genau ein
zugeordnet wird. Das bedeutet, dass du für jeden x-Wert ein eindeutiges Ergebnis bekommst und nicht mehrere verschiedene Möglichkeiten.
Um die zugehörige Funktionsgleichung zu bestimmen, die angibt, wie das zugeordnet wird, gibt es verschiedene Vorgehensweisen, je nachdem, was alles bekannt ist. In den nächsten Abschnitten zeigen wir dir das konkrete Vorgehen zuerst für lineare Funktionen und dann für die quadratischen.
Wenn du eine Geradengleichung aufstellen möchtest, gibt es dazu verschiedene Möglichkeiten. Zuallererst solltest du dir über ihre allgemeine Form im Klaren sein. Eine Gerade wird immer durch eine lineare Funktionsgleichung beschrieben, die die folgende Form hat
Das gibt dabei die Steigung der Gerade an und das
den y-Achsenabschnitt, das heißt den Schnittpunkt der Gerade mit der y-Achse.
Hast du den Graphen einer linearen Funktion gegeben und willst die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen, dann gehst du folgendermaßen vor. Wir wollen die einzelnen Schritte auch direkt an obiger Abbildung durchführen.
.
Wie viele Kästchen gehst du nach rechts/links?
Wie viele Kästchen gehst du nach oben/unten?
Die Steigung berechnest du nun als
In unserem Beispiel ist das Steigungsdreieck türkis eingezeichnet. Du siehst sofort, dass du zwei Kästchen nach rechts gehst und ein Kästchen nach oben. Somit ist und
und damit auch
.
Noch leichter kannst du die Funktionsgleichung aufstellen, wenn du bereits den y-Achsenabschnitt gegeben hast. Dann brauchst du lediglich einen weiteren Punkt , um die Geradengleichung eindeutig zu bestimmen. Wenn du beispielsweise die Gleichung der Geraden mit y-Achsenabschnitt
durch den Punkt
bestimmen willst, gehst du folgendermaßen vor:
Fast gleich gehst du vor, wenn du einen Punkt und die Steigung
der Geraden gegeben hast. Wir führen das wieder an einem Beispiel durch und wollen die Gerade durch den Punkt
mit Steigung
bestimmen.
Willst du wie im Bild die Funktionsgleichung der Gerade durch die beiden Punkte und
bestimmen, so musst du dir überlegen, wie dein Steigungsdreieck aussieht, um daraus
zu berechnen.
In unserem Beispiel ergibt sich damit
Die andere Möglichkeit besteht darin, ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten zu lösen. Dazu setzt du einfach beide Punkte in die Funktionsgleichung ein:
(I)
(II)
(I)
(I‘)
(I‘) in (II)
(II‘)
Damit kennst du alle Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kannst.
Mindestens genauso oft wird nach der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gefragt, deren Funktionsgraph eine Parabel darstellt. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du die Funktionsgleichung aufschreiben kannst. Jede davon bietet in bestimmten Situationen Vorteile und hat aber auch gewisse Nachteile. Die drei Möglichkeiten sind
(I) Allgemeine Form
(II) faktorisierte Form für die Nullstellen
und
(III) Scheitelpunktform für
Je nachdem, welche Werte du also vorliegen hast, bietet sich eine andere Darstellungsform der quadratischen Gleichung an. Hast du beispielsweise den Scheitelpunkt gegeben, verwendest du (III), kennst du dahingehend die beiden Nullstellen, so verwendest du die zweite Darstellungsweise.
Wenn du nur den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion gegeben hast, bestimmst du die Funktionsgleichung am besten über die Scheitelpunktform. Das zeigen wir dir an obigem Beispiel:
.
.
Wenn du nicht den Funktionsgraphen angegeben hast, sondern nur einen Punkt und die Koordinaten des Scheitels, gehst du genau wie im oberen Fall vor. Dann musst du die Punkte nur noch einsetzen und nicht einmal mehr aus der Zeichnung ablesen!
Ist ein Punkt und die beiden Nullstellen gegeben, dann behandelst du einen Spezialfall der drei gegebenen Punkte. Hier ist es am einfachsten, wenn du die Gleichung (II) für die Nullstellen verwendest. Hast du zum Beispiel die beiden Nullstellen und
gegeben und weißt zusätzlich, dass der Punkt
auf der Parabel liegen soll, dann gehst du folgendermaßen vor:
Um eine Parabel aus drei gegebenen Punkten zu errechnen, wenn du nichts über die Nullstellen oder den Scheitelpunkt weißt, bietet es sich an, alle Punkte in die Gleichung (I) einzusetzen. Dann erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, das du einfach auflösen kannst. Betrachten wir beispielsweise die Parabel durch die drei Punkte ,
und
.
Um ihre Funktionsgleichung zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:
(I)
(II)
(III)
(II)
(III)
Lösen wir (II) nach auf und setzen es in die dritte Gleichung ein, so erhalten wir
(II‘)
(III‘)
Einsetzen von in (II‘) ergibt
.
Wie du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion beziehungsweise einer quadratischen Funktion berechnen kannst, haben wir dir bereits ausführlich erklärt. Jetzt wollen wir noch kurz darauf eingehen, wie du im allgemeinen Fall vorgehst.
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