Mathe Grundlagen

Horner Schema

Das Horner Schema vereinfacht die Polynomdivision. Wie das funktioniert, erfährst du im Beitrag und in unserem Video an einem ausführlichen Beispiel.

Inhaltsübersicht

Horner Schema Beispiel 

Möchtest du zwei Polynome wie x^2 - 7x + 10 und x - 5 durcheinander teilen, dann kannst du dafür entweder die Polynomdivision verwenden oder das Horner Schema. Mit dem Horner Schema kommst du durch diese vier Schritte zum Ergebnis:

Horner Schema
  1. Tabelle erstellen.
  2. Gegebene Werte eintragen.
  3. Restliche Tabelle nach dem Lösungsschema ausfüllen.
  4. Das Ergebnis der Polynomdivision aufschreiben.

Das Horner Schema lässt sich nur anwenden, wenn durch ein Polynom der Form (x +/- Zahl) geteilt wird, also etwa (x-2) oder (x+12)

Am schnellsten verstehst du das Verfahren durch ein Beispiel. Für die Rechnung (x^2 - 7x + 10) : (x - 5) zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du zur Lösung kommst:

Horner-Schema, Horner-Schema Tabelle
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Lösung der Division nach dem Horner Schema

Horner Schema Schritt für Schritt

Wir wollen diese Polynomdivision mit mit Horner Schema berechnen:

(x^2 - 7x + 10) : (x - 5) = ?.

Schritt 1 – Tabelle erstellen

Die Tabelle hat immer drei Zeilen. Die Anzahl  der Spalten erhältst du, indem du den Grad des Polynoms nimmst und 2 addierst. Da wir es mit einem Polynom zweiten Grades zu tun haben (f(x) = x^2 - 7x + 10), benötigen wir also 4 Spalten. Das Feld der ersten Zeile und ersten Spalte bleibt immer leer. Du kannst es gleich durchstreichen.

Schritt 1: Tabelle erstellen, leere Tabelle, Horner-Schema Tabelle
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Schritt 1: Tabelle erstellen

 

Schritt 2 – Gegebene Werte eintragen

Die erste Zeile (beginnend bei der zweiten Spalte) füllst du nacheinander mit den Koeffizienten des ersten Polynoms aus. Die Koeffizienten für unser Beispiel sind 1, -7 und 10

Schritt 2: erste Zeile eintragen, Horner-Schema, Horner-Schema Aufbau
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Schritt 2: erste Zeile eintragen

 

In die erste Spalte der zweiten Zeile schreibst du die Zahl beim Divisor – also dem Polynom direkt links neben dem Gleichheitszeichen – mit geändertem Vorzeichen: Der Divisor lautet (x - 5). Du nimmst also die -5, drehst das Vorzeichen um und schreibst eine 5 in die Tabelle.

Schritt 2: Divisor eintragen, Horner-Schema Divisor, Horne-Schema Aufbau
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Schritt 2: Divisor eintragen

 

Wichtig

Damit das Horner Schema funktioniert, müssen die Polynome geordnet sein. Die einzelnen Glieder der Polynome müssen also in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet sein.

Schritt 3 bis 5: Tabelle nach dem Horner Schema ausfüllen

Schritt 3:

Jetzt nimmst du den ersten Eintrag der ersten Zeile und ziehst ihn direkt runter in die letzte Zeile. 

Schritt 3: ersten Eintrag übernehmen, Horner-Schema Tabelle, Horner-Schema Aufbau
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Schritt 3: ersten Eintrag übernehmen

 

Schritt 4:

Diese 1 multiplizierst du anschließend mit der 5 aus der ersten Spalte und schreibst das Ergebnis in die zweite Zeile unter den zweiten Koeffizienten. Unter der -7 muss also eine 5 (1\cdot5) stehen. 

Zuletzt addierst du die beiden Zahlen in der Spalte für den zweiten Koeffizienten und schreibst das Ergebnis darunter: -7+5=-2

Schritt 4: Multiplikation, Addition, Horner-Schema, Horner-Schema Aufbau
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Schritt 4: Multiplikation, Addition

 

Schritt 5 bis …:

Nun wiederholst du diesen Prozess der Multiplikation und Addition. Das heißt, du multiplizierst die -2 aus der dritten Zeile mit 5 und fügst das Ergebnis in die zweite Zeile der letzten Spalte ein. Dieses Ergebnis addierst du dann mit der Zahl direkt darüber, also die 10, und fügst das Ergebnis dieser Addition direkt darunter ein.

Schritt 5: Multiplikation, Addition, Horner-Schema, Horner-Schema Aufbau
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Schritt 5: Multiplikation, Addition

 

Da du als Dividend (also das erste Polynom) ein Polynom zweiten Grades hast, bist du bereits fast fertig. Bei Polynomen höheren Grades müsstest du die Schritte hier mehrmals wiederholen.

Letzter Schritt – Ergebnis ablesen und aufschreiben

In der letzten Zeile stehen nun die Koeffizienten der Lösung. Da du durch ein Polynom ersten Grades geteilt hast (x-5), musst du den Grad des Lösungspolynoms um 1 reduzieren.

letzter Schritt: Ergebnis ablesen und aufschreiben, Horner-Schema, Horner-Schema Aufbau
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letzter Schritt: Ergebnis ablesen und aufschreiben

 

Du erhältst also 1x^1-2\cdotx^0+\frac{0}{(x-5)}. Das letzte Glied der Lösung entspricht dem Rest der Division. Da der Koeffizient gleich Null ist, können wir ihn weg lassen und erhalten:

(x^2 - 7x + 10) : (x - 5) = x - 2

Vergleich Polynomdivision und Horner Schema

Ob du das Horner Schema verwendest oder die Polynomdivision , bleibt dir überlassen. Du kommst mit beiden Verfahren zum selben Ergebnis. Wie die Berechnung von (x^2 - 7x + 10) : (x - 5) in beiden Fällen aussieht, kannst du hier vergleichen:

Vergleich: Polynomdivision vs. Horner-Schema
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Vergleich: Polynomdivision vs. Horner-Schema

Horner Schema mit Rest

Das erste Beispiel war eine Polynomdivision ohne Rest. Was aber passiert, wenn es zu einem Rest kommt? Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an. Wir haben das Polynom

f(x) = 5x^3 - 7x + 9

gegeben und möchten es durch

g(x) = x - 2

dividieren.

Der Ablauf hierfür ist identisch zum vorherigen. Du musst aber hier eine Kleinigkeit beachten: f(x) ist ein Polynom dritten Grades, aber der Term mit x^2 fehlt, da sein Koeffizient gleich Null ist. Du kannst f(x) also auch so schreiben

f(x) = 5x^3 + 0x^2 -7x + 9.

Diese Null musst du in die erste Zeile vom Horner Schema aufnehmen. Das Horner Schema für dieses Beispiel sieht dann folgendermaßen aus

Horner Schema mit Rest, Horner Schema Aufbau
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Horner Schema mit Rest

 

Die Zahl in der dritten Zeile der letzten Spalte ist nicht Null. Das gibt dir den Hinweis, dass du es hier mit einer Polynomdivision mit Rest zu tun hast. Wie im vorherigen Beispiel, musst du die Koeffizienten in der letzten Zeile mit den „korrekten“ Termen kombinieren. Das bedeutet, dass du

die 5 mit x^2 (und nicht x^3),

die 10 mit x^1 (und nicht x^2)

und die 13 mit x^0 (und nicht x^1) kombinierst.

Das Ergebnis dieser Polynomdivision lautet daher

(5x^3 - 7x + 9):(x-2) = 5x^2 + 10x + 13 + \frac{35}{x-2}.

 

 

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