Mathe Grundlagen

Kettenregel

Dieser Artikel erklärt dir, was die Kettenregel ist und wie du sie anwendest. Dafür zeigen wir dir mehrere Beispiele für die Ableitung verketteter Funktionen.

Du möchtest in nur wenigen Minuten erfahren, wie du mit der Kettenregel ableiten kannst? Dann schau dir unser Video  an.

Inhaltsübersicht

Kettenregel einfach erklärt

Mit der Kettenregel kannst du die Ableitung einer verketteten Funktion berechnen.

Kettenregel

f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = \underbrace{g'(h(x))}_{\substack{\ddot{\text{a}}\text{u\ss{}ere} \\ \text{Ableitung}}} \cdot \underbrace{h'(x).}_{\substack{\text{innere} \\ \text{Ableitung}}

Dabei ist g(x) die äußere und h(x) die innere Funktion. Aus diesem Grund nennt man

  • g'(h(x)) äußere Ableitung
  • h'(x) innere Ableitung.

Als Merksatz für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion f(x)=g(h(x)) solltest du dir deshalb „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ gut einprägen.

Das Multiplizieren mit der inneren Ableitung h'(x) wird auch Nachdifferenzieren genannt.

Verkettete Funktionen

Die Regel zum Ableiten verketteter Funktionen ist an sich nicht besonders kompliziert. Die Schwierigkeit besteht darin die innere und äußere Funktion zu erkennen.

Sieh dir beispielsweise die folgende Funktion f(x) an:

f(x) = (2x+1)^2.

Hier sind zwei Funktionen ineinander verschachtelt. Die innere Funktion h(x) steht in der Klammer, während du die  äußere Funktion g(x) erhältst, indem du die gesamte Klammer durch x ersetzt. In diesem Beispiel gilt also:

  • innere Funktion: h(x)=2x+1
  • äußere Funktion: g(x)=x^2.

Klammern sind hierbei sehr wichtig! Sie dienen als eine Art Platzhalter und signalisieren dir damit, dass Funktionen ineinander gesetzt (verkettet) wurden.

Kettenregel Beispiel

Im Folgenden zeigen wir dir, wie du die Kettenregel anwendest.

Beispiel 1

Möchtest du nun die Ableitung f'(x) der Funktion f(x)= (2x+1)^2 berechnen, musst du zunächst die innere und äußere Ableitung h'(x) und g'(x) bestimmen. In diesem Fall wäre das

h(x) = 2x+1 \quad \rightarrow \quad h'(x)=2.

und

g(x) = x^2 \quad \rightarrow \quad g'(x)= 2x

Dabei wurden die Potenzregel  und die Faktorregel  angewandt.

Jetzt setzt du die Ableitungen h'(x) und g'(x), sowie die Funktion h(x) in die Formel für die Kettenregel von oben ein. Dafür musst du das x in g'(x)=2x durch die Funktion h(x) austauschen und erhältst:

f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)

= 2\cdot (2x+1) \cdot 2

Vergiss hier auf keinen Fall die Klammer! Diese musst du immer dann setzen, wenn Ausdrücke ersetzt (substituiert) werden.

Fasst du dein Ergebnis noch weiter zusammen, indem du die Klammer auflöst, liefert dir das die Ableitung:

 f'(x) = 8x+4.

Für dieses Beispiel mit f(x) = (2x+1)^2 hättest du die Kettenregel umgehen können, indem du entweder die Produktregel anwendest oder f(x) mithilfe der binomischen Formel umschreibst.

Angenommen du tust letzteres, dann erhältst du

f(x)= 4x^2 +4x + 1.

Die Ableitung f'(x) kannst du mittels der Potenz- und Faktorregel  recht schnell bestimmen:

f'(x)=8x+4.

Wie du siehst bekommst du dasselbe Ergebnis wie beim Anwenden der Kettenregel.

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an.

Beispiel 2

f(x)=2(x^2+5)^3

Zunächst bestimmst du wieder innere und äußere Funktion, sowie deren Ableitungen:

  • innere Funktion/ innere Ableitung:

h(x)=x^2+5 \quad \rightarrow \quad h'(x)=2x

  • äußere Funktion/ äußere Ableitung:

g(x)=2x^3 \quad \rightarrow \quad g'(x)=6x^2.

Nun setzt du erneut die Ableitungen h'(x) und g'(x), sowie h(x) in die Formel der Kettenregel ein und erhältst:

f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)

= 6(x^2+5)^2 \cdot 2x

Auch hier hättest du durch Ausmultiplizieren von f(x) die Kettenregel meiden können.

Weitere Anwendungsbeispiele der Kettenregel

Allerdings gibt es auch einige Funktionen, bei denen du gezwungen bist die Kettenregel zu verwenden. Sieh dir deshalb für noch mehr Beispiele dieser Art die folgenden Artikel an:

Weitere Ableitungsregeln

Neben der Kettenregel Ableitung gibt es noch weitere Ableitungsregeln mit denen du Ableitungen bestimmen kannst:

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Faktorregel f(x)=c\cdot h(x) f'(x)=c \cdot h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)

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