Mathe Grundlagen

Median

In diesem Artikel erklären wir dir, was der Median ist und wie du ihn berechnen kannst.
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Inhaltsübersicht

Median einfach erklärt

Der Median teilt deine Messwerte in zwei gleich große Hälften auf. Das bedeutet, 50% der Messwerte sind kleiner und 50% größer als der Median. Er gibt dir damit Auskunft darüber, wie groß oder klein der Messwert „in der Mitte“ deiner Messwerte ist und ist ein Maß der zentralen Tendenz.

Um den Median zu berechnen, bringst du deine Messwerte zunächst in eine aufsteigende Rangreihe. Anschließend ermittelst, den Messwert, der genau in der Mitte der Reihe liegt. Hast du etwa die Messwerte 2,5,8,11,15, dann wäre der Median 8, da dieser Messwert die Reihe in zwei gleich große Hälften teilt und genau in der Mitte liegt.

2 – 5 – 8 – 11 – 15 

Median Formeln

Du kannst den Median auch mit Hilfe einer Formel bestimmen. Hierbei wird unterschieden ob du eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Messwerten hast. Die beiden Formeln zur Berechnung sehen so aus:  

Median: Ungerade Anzahl an Messwerten 

Ungerade Anzahl an Messwerten 
\tilde{x} = x_{\frac {n+1}{2}}

Median: Gerade Anzahl an Messwerten 

Gerade Anzahl an Messwerten
\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} )

Dabei sind jeweils: 
\tilde{x} – Der zu berechnende Median 
n – Die Anzahl der einzelnen Messwerte 
x – Der jeweilige Messwert der Messwertreihe 

Median berechnen: Ungerade Anzahl an Messwerten

Sehen wir uns beide Formeln zur Bestimmung des Medians einmal an einem Beispiel an.
Angenommen du hast folgende Messwertreihe und möchtest den Median berechnen:

4 – 9 – 8 -7 – 12 – 4 – 16 – 1 – 2

Dafür musst du die Messwerte zunächst nach ihrer Größe ordnen und in eine aufsteigende Rangreihe bringen:

1 – 2- 4 – 4 – 7 – 8 – 9 – 12 – 16

Nun kannst du mit der Berechnung starten. Um die richtige Formel auszuwählen, musst du wissen, ob du eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Messwerten hast. In unserem Beispiel haben wir 9 Messwerte, also eine ungerade Anzahl. Folglich benötigen wir folgende Formel: 

\tilde{x} = x_{\frac {n+1}{2}}

In diese Formel müssen wir nun lediglich die Anzahl der Messwerte n einsetzen und den Term ausrechnen. Das Ergebnis sagt uns, der wievielte Messwert unserer Reihe der Median ist.

\tilde{x} = x_{\frac {9+1}{2}} = x_{\frac {9+1}{2}} = x_{\frac {10}{2}}  = x_5

Der Median ist also der 5. Messwert unserer Liste. Durch Abzählen kannst du ihn jetzt ermitteln. In unserem Beispiel lautet der Median also 7.

1 – 2- 4 – 4 – 7 – 8 – 9 – 12 – 16

Median berechnen: Gerade Anzahl an Messwerten

Sehen wir uns nun noch die Bestimmung für den Fall einer geraden Anzahl an Messwerten an. Die Messwerte sind diesmal bereits sortiert und liegen in einer aufsteigenden Rangreihe vor. 

5 – 8 – 8 -10 – 10 – 12 – 17 – 29

Da wir diesmal acht Messwerte haben, benötigen wir die Formel für eine gerade Anzahl an Messwerten.

\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} )

Auch hier setzen wir einfach wieder die Anzahl n unserer Messwerte in die Formel ein.

\tilde{x} = \frac{1}{2} (x_{\frac {8}{2}} + x_{\frac{8}{2}+1} ) = \frac{1}{2} (x_4 + x_{4+1}) = \frac {1}{2} (x_4 + x_5)

Um das Ergebnis zu erhalten, müssen wir also den vierten und den fünften Messwert unserer Reihe einsetzen.

5 – 8 – 810 – 10 – 12 – 17 – 29

Wir setzen also 8 und 10 in unsere Rechnung ein. Jetzt müssen wir das ganze nur noch ausrechnen: 

\tilde{x} =\frac {1}{2} (x_4 + x_5) = \frac {1}{2} (8+10) = \frac {1}{2} \times 18 = 9

Der Median lautet folglich 9. Da du eine gerade Anzahl an Messwerten hast, ist der Median nicht direkt einer deiner Messwerte. Stattdessen liegt er zwischen den beiden „mittleren Messwerten“, in unserem Fall also zwischen den Messwerten 8 und 10. 

Eigenschaften des Medians 

Der Median wird verwendet, um die zentrale Tendenz einer Messwertreihe zu beschreiben. Da er deine Messwerte in zwei Hälften teilt, vermittelt er einen guten Eindruck darüber, wie hoch oder niedrig Messwerte sind, die genau in der Mitte liegen.  Aufgrund seiner Lage in der Messwertreihe wird er manchmal auch als Zentralwert bezeichnet. Der Median gehört zur Gruppe der Lagemaße, die besonders auffällige Werte einer Messwertgruppe abbilden. Weitere Lagemaße sind zum Beispiel der Modus oder der Mittelwert .

Ein Vorteil des Medians ist, dass er robust gegenüber Ausreißern ist. Das bedeutet, er wird nicht dadurch beeinflusst, wenn ein paar wenige, sehr extreme Messwerte in deiner Stichprobe enthalten sind. Somit kann er die zentrale Tendenz der Mehrheit der Messwerte gut darstellen, ohne von einzelnen Ausreißerwerten verzerrt zu werden. 

Stell dir etwa vor, du hast folgende Messwerte: 

4 – 9 – 13 -14 – 16 – 17 – 19 – 21 – 1490

Du siehst, dass der letzte Messwert der Reihe sehr viel höher ist als der Rest und eigentlich nicht so recht in die Reihe passt. Würdest du nun den Median ermitteln, bliebe dieser jedoch von dem extremen Wert unberührt. Das liegt daran, dass der Median nur die Werte in der Mitte der Messwertreihe betrachtet. Folglich kann er nicht von extremen Randwerten so verzerrt werden, dass er die zentrale Tendenz deiner Messwerte nicht mehr gut abbildet.  Anders wäre das zum Beispiel beim Mittelwert. In die Bestimmung des Mittelwerts gehen die Zahlenwerte aller Messwerte mit ein.  Dadurch kann der Mittelwert durch einzelne sehr extreme Messwerte stark verzerrt werden. Das kann dir beim Median nicht passieren. 

Weitere Vorteile des Medians 

Ein weiterer Vorteil des Medians ist, dass er bereits ab Ordinalskalenniveau verwendet darf. Das bedeutet, zwischen den Ausprägungen deiner betrachteten Variable müssen keine gleichen Abstände vorliegen, damit du den Median berechnen darfst. Es ist lediglich notwendig, dass du die Messwerte in einer logisch aufsteigende Rangreihe bringen kannst. Beim Mittelwert benötigst du hingegen mindestens Intervallskalenniveau . Der Mittelwert hat also im Vergleichstrengere Voraussetzungen, wann er verwendet werden darf. 

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