Mathe Grundlagen

Mittelwert Median Modus

In diesem Beitrag zeigen wir dir die drei wichtigsten Lagemaße der Statistik: Den Mittelwert, den Median und den Modus. 

Du willst das Thema noch schneller verstehen? Dann haben wir mit unserem Video zum Thema genau den richtigen Lernhelfer für dich!

Inhaltsübersicht

Mittelwert, Median, Modus einfach erklärt

Der Modus, der Median und der Mittelwert sind die drei bekanntesten, sogenannten Lagemaße der Statistik. Mit ihnen versuchen wir eine zentrale Tendenz in einer Datenmenge zu erfassen. Deshalb werden sie öfter auch als Maße der zentralen Tendenz bezeichnet.

  • Der Modus ist das einfachste Lagemaß: Er ist einfach der Wert in deiner Stichprobe, der am häufigsten vorkommt.
  • Der Median teilt deine Messwerte hingegen in zwei gleich große Hälften. Er ist also der Wert, der genau in der Mitte liegt, wenn du deine Messwerte in eine aufsteigende Rangreihe bringst.
  • Der Mittelwert ist schließlich das, was du vielleicht schon als „Durchschnitt“ kennst. Um ihn zu erhalten, summierst du alle Messwerte auf und teilst die Summe durch die Anzahl der Messwerte. 
 

Der Modus

Der Modus (häufig auch: Modalwert) ist das einfachste Lagemaß in der Statistik. Er ist einfach der Wert in deiner Stichprobe, der am häufigsten vorkommt. Du kannst ihn für jedes Skalenniveau ermitteln. 

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Modus Statistik

Modus berechnen 

Zur „Berechnung“ zählt man lediglich ab, wie oft die verschiedenen Merkmalsausprägungen in einer Stichprobe vorkommen. Betrachten wir beispielsweise eine Urliste mit den Werten 5,2,1,2,6, dann ist der Modus deiner Verteilung der Wert 2, da dieser Wert am häufigsten in der Liste vorkommt. 

x_{mod}=2

Es kann vorkommen, dass es in einer Stichprobe mehrere Modi gibt, wenn zwei oder mehrere Merkmale gleich oft vorkommen.

Median 

Machen wir weiter mit dem Median. Er ist der Wert, der deine Messwerte in zwei gleich große Hälften teilt, so dass 50% der Werte kleiner und 50% der Werte größer als der Median sind. Sortierst du deine Messwerte also nach ihrer Größe, ist der Median der Wert, der genau in der Mitte liegt. Der Median kann nur bei ordinalen und kardinalen Skalenniveaus ermittelt werden. Ein Vorteil des Medians ist, dass er durch extreme Ausreißerwerte nicht verzerrt wird. 

Median berechnen

Zur Berechnung musst du die Urliste von vorhin der Größe nach aufsteigend sortieren

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Median berechnen

 

Bei der Berechnung des Medians kommt es anschließend darauf an, ob du eine gerade oder eine ungerade Anzahl an Messwerten betrachtest.  Je nach dem, verwendest du eine andere Formel. 

  • Bei einer ungeraden Anzahl an Messwerten: 

x_{med}=x_\frac{n+1}{2}

  • Bei einer geraden Anzahl an Messwerten:

x_{med}=\frac{1}{2}\left(x_\frac{n}{2}+x_{\frac{n}{2}+1}\right)

In unserem Beispiel haben wir eine ungerade Anzahl an Messwerten und müssen die erste Formel verwenden. Setzen wir die Werte in die Formel ein erhalten wir als Median den Wert 2. 

Wenn wir jetzt noch einen weiteren beliebigen Wert an unsere Liste anhängen, müssen wir mit der zweiten Formel rechnen.

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Ergänzung der Urliste um einen weiteren Wert
 

Median Beispiel

Um den Unterschied zum Mittelwert an dieser Stelle hervorzuheben, folgt ein Beispiel mit ordinalskalierten Daten. Wir wollen den Median für die Schulnoten eines Schülers berechnen.

Der Schüler hat in Mathe die Note „sehr gut“, in Deutsch „gut“, in Englisch „mangelhaft“ und in Sport wieder „sehr gut“ . Sortiert man die Daten, erhält man folgende Urliste: „sehr gut, sehr gut, gut, mangelhaft“.  Der Median liegt in der Mitte der Datenliste, also in diesem Fall zwischen „sehr gut“ und „gut“, da es sich um eine ungerade Anzahl an Datenwerten handelt.

Den Mittelwert hättest du hier nicht berechnen dürfen, da bei den Daten nicht mindestens Intervallskalenniveau vorliegt. 

Robustheit gegenüber Ausreißern

Das Besondere am Median ist, dass er durch sogenannte Ausreißer kaum beeinflusst wird. Dies wird durch das Schulnotenbeispiel deutlich. Der Schüler hat generell sehr gute Noten, nur die Note „mangelhaft“ in Englisch weicht stark von den anderen Noten ab. Diese extreme Note beeinflusst den Median jedoch nicht, da dieser nur die Werte in der Mitte der Messwertreihe betrachtet. 

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Der Median ist robust gegenüber Ausreißern

Mittelwert 

Ganz anders verhält sich der Mittelwert, der häufig auch als arithmetisches Mittel bezeichnet wird. Er lässt sich im Gegensatz zum Modus und Median nur für Variablen mit Kardinalskalenniveau bestimmen. 

Um den Mittelwert zu bestimmen, summierst du alle Messwerte auf und teilst sie durch ihre Anzahl. Die Formel dafür siehst du hier: 

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Mittelwert Formel

Mittelwert berechnen

Für unser Beispiel von vorhin berechnest du den Mittelwert also folgendermaßen: 

\bar{x}=\frac{1+2+2+5+6}{5}=3,2

Erhöhen wir hier den letzten Wert auf 50 kommen wir auf folgendes Ergebnis:

\bar{x}=\frac{1+2+2+5+50}{5}=12

Du siehst, unser jetziges Mittelmaß wurde durch einen einzigen Ausreißer deutlich nach oben verzerrt. Führe dir also immer vor Augen, dass der Mittelwert nicht unbedingt zuverlässig interpretierbar ist, sondern durch Ausreißer verzerrt werden kann. 

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