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Satz des Pythagoras

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Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist der Satz des Pythagoras?

Satz des Pythagoras Beispiel

Satz des Pythagoras im Alltag — Anwendungsbeispiel

Hier und im Video erklären wir dir, was der Satz des Pythagoras ist und wie du mit ihm rechnest!

Inhaltsübersicht

Was ist der Satz des Pythagoras?

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Der Satz des Pythagoras ist eine Formel, mit der du die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kannst. Die Formel lautet:

a² + b² = c²

Dabei sind a und b die kurzen Seiten im Dreieck. Sie liegen am 90°-Winkel und heißen Katheten.
c ist die längste Seite im Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel und heißt Hypotenuse.

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Wichtig: Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Das sind Dreiecke, die einen 90°-Winkel haben.

Satz des Pythagoras Beispiel

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Mithilfe der Formel für den Satz des Pythagoras kannst du die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Dafür müssen dir zwei Seitenlängen gegeben sein. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Gegeben sind die Seitenlängen a = 4 cm und b = 3 cm. Wie lang ist die Seite c?

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Jetzt kannst du Schritt für Schritt vorgehen:

1. Prüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt

Das Dreieck hat einen rechten Winkel, also können wir den Satz des Pythagoras anwenden.

2. Formel aufstellen

Die Formel lautet a² + b² = c². Sie ist schon nach c aufgelöst, also müssen wir sie nicht umstellen.

3. Werte einsetzen

Jetzt kannst du die Seitenlängen a und b einsetzen.

(4 cm)² + (3 cm)² = c²

4. Ausrechnen

Jetzt kannst du die Klammern auflösen und die Wurzel ziehen.

$\begin{align*} \textcolor{olive}{c}^2&=\textcolor{red}{(4\text{cm})}^2 + \textcolor{blue}{(3\text{cm})}^2 && | \sqrt{...} \\ \textcolor{olive}{c} &= \sqrt{\textcolor{red}{(4\text{cm})}^2 + \textcolor{blue}{(3\text{cm})}^2} \\ \textcolor{olive}{c} &= \sqrt{\textcolor{red}{16 \text{cm}}^2 + \textcolor{blue}{9 \text{cm}}^2} \\ \textcolor{olive}{c} &= \sqrt{25 \text{cm}^2} \\ \textcolor{olive}{c} &= 5 \text{cm} \end{align*}$

Die Hypotenuse c ist 5 cm lang.

Satz des Pythagoras nach Kathete umstellen

Manchmal ist nicht die Länge c gefragt, sondern die Länge der Kathete a oder b. Auch die kannst du mit dem Satz des Pythagoras lösen. Stelle die Formel dafür einfach nach a oder b um.

Satz des Pythagoras nach a umstellen

Du stellst die Formel vom Satz des Pythagoras nach a um, indem du zuerst minus b Quadrat rechnest, damit a alleine steht. Dann ziehst du die Wurzel auf beiden Seiten.

$\begin{align*} \textcolor{red}{a}^2+\textcolor{blue}{b}^2&=\textcolor{olive}{c}^2 && | - b^2 \\ \textcolor{red}{a}^2 &= \textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{blue}{b}^2 && | \sqrt{...} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{blue}{b}^2} \end{align*}$

Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlängen b = 12 cm und c = 13 cm. Wie lang ist die Seitenlänge a? Setze die gegebenen Werte in deine neue Formel ein:

$\begin{align*} \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{blue}{b}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{(13\text{cm})}^2 - \textcolor{blue}{(12\text{cm})}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{\textcolor{olive}{169\text{cm}}^2 - \textcolor{blue}{144\text{cm}}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{25 \text{cm}^2} \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{5 \text{cm}} \end{align*}$

Satz des Pythagoras nach b umstellen

Genauso kannst du mit dem Pythagoras die Länge der Kathete b bestimmen. Rechne zuerst minus a Quadrat, um b alleine auf der linken Seite zu haben.

$\begin{align*} \textcolor{red}{a}^2+\textcolor{blue}{b}^2&=\textcolor{olive}{c}^2 && | - a^2 \\ \textcolor{blue}{b}^2 &= \textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{red}{a}^2 && | \sqrt{...} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{align*}$

Beispiel: Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 6 cm und c = 10 cm. Wie lang ist die Seitenlänge b? Setze ein:

$\begin{align*} \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{c}^2 - \textcolor{red}{a}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{(10 \text{cm})}^2 - \textcolor{red}{(6\text{cm})}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{olive}{100 \text{cm}}^2 - \textcolor{red}{36\text{cm}}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{64 \text{cm}^2} \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{8 \text{cm}} \end{align*}$

Satz des Pythagoras Formel

Bisher hast du gesehen, wie du mit dem Satz des Pythagoras einzelne Seiten berechnen kannst. Die Formel basiert aber eigentlich auf Flächen, die gleich sind.

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Wieder siehst du die Hypotenuse c und die Katheten a und b. An jede Seite des Dreiecks schließt ein Quadrat mit der jeweiligen Seitenlänge an. Das rote Quadrat hat also Seitenlänge a und damit den Flächeninhalt a². Das blaue Quadrat hat die Seitenlänge b und damit den Flächeninhalt b².

Erinnere dich an die Formel vom Satz des Pythagoras.

$\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 = \textcolor{olive}{c}^2$

Diese Aussage kannst du auf die Flächen beziehen. Der Flächeninhalt des Quadrats bei c ist also genauso groß wie die beiden Flächeninhalte von Quadrat a plus Quadrat b zusammen.

Der Satz des Pythagoras in Worten lautet also: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten.“

Satz des Pythagoras im Alltag — Anwendungsbeispiel

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Der Satz des Pythagoras kann dir auch im Alltag helfen. Schauen wir uns dazu folgendes Anwendungsbeispiel an.

Gut zu wissen: Die Seiten im Dreieck heißen nicht immer a, b und c. Hier heißen sie zum Beispiel s, h und l. Du kannst die Formel aber genauso anwenden wie vorhin.

Satz des Pythagoras Anwendungsaufgabe, Satz des Pythagoras Anwendungsbeispiel — Anwendungsbeispiel Rutsche

In einem Abenteuerpark wird eine neue Rutsche aufgestellt. Sie soll von einem 8 Meter hohen künstlichen Berg bis zum Boden reichen. Der Berg ist dabei 15 Meter vom Endpunkt der Rutsche entfernt. Wie lang ist die neue Rutsche? Gehe beim Lösen Schritt für Schritt vor:

1. Prüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt

Zwischen dem Berg und dem Ende der Rutsche ist ein rechter Winkel. Du kannst also die Formel vom Satz des Pythagoras anwenden.

2. Formel aufstellen

Nun stellst du den Satz des Pythagoras in diesem Dreieck auf. Statt a, b und c hast du hier die Längen s, h und l. Es gilt:

l² = h² + s²

3. Werte einsetzen

Die Entfernung zwischen dem Berg und Endpunkt auf dem Boden beträgt s = 15 m. Die zweite Kathete des Dreiecks ist der künstliche Berg mit einer Höhe von h = 8 m.

l² = (8 m)² + (15 m)²

4. Ausrechnen

$\begin{align*} l^2 &= h^2+s^2 \\ l^2 &= (8\text{m})^2 + (15\text{m})^2 && | \sqrt{...} \\ l &= \sqrt{(8\text{m})^2 + (15\text{m})^2} \\ l &= \sqrt{64\text{m}^2+225\text{m}^2} \\ l &= \sqrt{289 \text{m}^2} \\ l &= 17\text{m} \end{align*}$

Die neue Rutsche wird also l = 17 m lang sein.

Satz des Pythagoras — häufigste Fragen

Was ist der Satz des Pythagoras Mathe?
Der Flächeninhalt des Quadrats bei c ist also genauso groß wie die beiden Flächeninhalte a Quadrat plus b Quadrat zusammen. Der Satz des Pythagoras in Worten lautet also: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten.“
Was sagt der Satz des Pythagoras in einem Dreieck?
Der Satz des Pythagoras stellt in einem rechtwinkligen Dreieck eine Beziehung zwischen den drei Seiten a, b und c her. a² + b² = c² . Dabei sind a und b die beiden kurzen Seiten und c ist die lange Seite.
Was ist der Satz des Pythagoras einfach erklärt?
Der Satz des Pythagoras stellt die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung zueinander. Die Formel lautet c² = a² + b² und bedeutet, dass sie Summe der quadrierten Katheten a und b gemeinsam das Quadrat von c ergeben. Das gilt nur bei Dreiecken mit einem rechten Winkel, bei dem c die Hypotenuse (längste Seite) ist.

Satz des Pythagoras Aufgaben

Super! Mit dem Satz des Pythagoras kannst du fehlende Seitenlängen in einem Dreieck nun einfach bestimmen. In einem extra Video haben wir viele verschiedene Aufgaben zum Satz des Pythagoras zusammengestellt. Schau es dir gleich an!

Zum Video: Satz des Pythagoras Aufgaben

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