Mathe Grundlagen

Satz des Pythagoras Aufgaben

Hier haben wir zum Satz des Pythagoras Aufgaben mit Lösungen für dich zusammengetragen. %</span>Du möchtest Aufgaben Schritt für Schritt erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video zu den Aufgaben an!<span style="color: #99cc00;">

Inhaltsübersicht

Satz des Pythagoras Aufgaben einfach erklärt

Um mit dem Satz des Pythagoras Aufgaben lösen zu können, brauchst du die Formel

a^2+b^2=c^2.

Was dieser Satz aussagt und wie du die Formel benutzen kannst, erklären wir dir in unserem extra Beitrag .

Hinweis: Du findest beim Satz des Pythagoras Textaufgaben und Anwendungsaufgaben besonders häufig. 

Aufgabe 1

Formuliere den Satz des Pythagoras für die folgenden Dreiecke.

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Aufgabe 1
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Lösung Aufgabe 1

a) Der rechte Winkel liegt zwischen den Seiten a und b, deshalb sind diese die Katheten. Die Seite c ist die Hypotenuse des Dreiecks. Deshalb gilt

a^2+b^2=c^2.

b) k^2+l^2=m^2

c) x^2+z^2=y^2

Aufgabe 2

Berechne die fehlende Seitenlänge.

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Aufgabe 2

Lösung Aufgabe 2

Mit der Formel von Pythagoras kannst du die gesuchten Seitenlängen berechnen, weil alle Dreiecke einen rechten Winkel haben.

Teilaufgabe a)

Die gesuchte Seite t ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Es gilt also

t^2=r^2+s^2.

Nun löst du die Formel nach t auf und setzt die Zahlen für r und s ein, um den gesuchten Wert für t zu berechnen.

    \begin{align*} t^2 &= r^2 + s^2 \\ t^2 &= (20\text{cm})^2 + (21\text{cm})^2 && | \sqrt{...} \\ t &= \sqrt{400\text{cm}^2 + 441 \text{cm}^2} \\ t &= \sqrt{841 \text{cm}^2} \\ t &= 29 \text{cm} \end{align*}

Teilaufgabe b)

Gesucht ist die Länge der Kathete w. Zuerst stellst du die Formel im Dreieck auf und formst sie um, sodass w auf einer Seite steht.

    \begin{align*} w^2+v^2 &= u^2 && | - v^2 \\ w^2 &= u^2 - v^2 && | \sqrt{...} \\ w &= \sqrt{u^2 - v^2} \end{align*}

Jetzt setzt du nur noch die Werte ein und berechnest so die Länge von w.

w = \sqrt{u^2-v^2} = \sqrt{(9\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2} = \sqrt{81\text{cm}^2 - 49\text{cm}^2}

w = \sqrt{32 \text{cm}^2} = 4\sqrt{2} \text{cm} \approx 5,7 \text{cm}

Teilaufgabe c)

Wieder wird nach einer Kathete gesucht. Durch Aufstellen und Umformen der Formel sowie das Einsetzen der Werte bekommst du die gesuchte Länge k.

    \begin{align*} k^2+l^2 &= m^2 && | - l^2 \\ k^2 &= m^2 - l^2 && | \sqrt{...} \\ k &= \sqrt{m^2 - l^2} \\ k&= \sqrt{(5\text{cm})^2 - (3\text{cm})^2} \\ k &= \sqrt{25\text{cm}^2-9\text{cm}^2} \\ k &= \sqrt{16\text{cm}^2} \\ k &= 4 \text{cm} \end{align*}

Aufgabe 3 

Häufig werden dir zum Satz des Pythagoras Textaufgaben gestellt. Lass uns diese hier einmal gemeinsam lösen.

In einem Flur mit einer Deckenhöhe von 2,40m sollen drei Meter lange Holzbalken gelagert werden. Wie breit muss der Raum sein, damit die Holzbalken hinein passen?

Lösung Aufgabe 3

Am besten fertigst du dir bei Satz des Pythagoras Aufgaben zunächst einmal eine Skizze an und trägst gleich die Angaben ein, die du aus dem Text bekommen hast. Wichtig ist die Deckenhöhe von 2,40 m und die Länge der Holzbalken. 

Satz des Pythagoras Aufgabe
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Skizze Aufgabe 3

Gegeben: Deckenhöhe h = 2,4 m, Länge der Holzbalken l = 3 m, rechter Winkel zwischen h und b.

Gesucht: Mindestbreite b in Metern

Lösung:

Zunächst stellst du mit dem Pythagoras eine Formel auf.

h^2+b^2 = l^2

Diese löst du jetzt nach dem gesuchten b auf.

b^2 = l^2 - h^2

b = \sqrt{l^2 - h^2}

Nun musst du nur noch die Angaben einsetzen und kannst die gesuchte Breite so ausrechnen.

b = \sqrt{ (3\text{m})^2 - (2,4\text{m})^2} = \sqrt{3,24} \text{m} = 1,8 \text{m}

Antwort: Der Flur muss mindestens 1,8 m breit sein. 

Aufgabe 4

Ganz oft gibt es zum Satz des Pythagoras Anwendungsaufgaben. Lass uns so eine Satz des Pythagoras Aufgabe gemeinsam durchgehen. 

Ein Straßenschild zeigt an, dass auf den nächsten 800m eine Steigung von 10% herrscht. Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen dem Beginn der Strecke und ihrem Endpunkt?

Lösung Aufgabe 4

Auch hier hilft dir eine Skizze weiter, wie bei fast allen Satz des Pythagoras Aufgaben.

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Skizze zu Aufgabe 4

Die Strecke s ist 800 m lang. Es herrscht eine Steigung von 10%. Das bedeutet

\frac{h}{l} = \frac{10}{100}.

Diese Gleichung kannst du nach dem gesuchten Höhenunterschied h auflösen.

    \begin{align*} \frac{h}{l} &= \frac{10}{100} && | \cdot l \\ h &= \frac{1}{10} \cdot l \end{align*}

Außerdem gilt in diesem rechtwinkligen Dreieck

s^2 = h^2 + l^2.

Jetzt kannst du zunächst das h ersetzen und die Formel nach l auflösen.

    \begin{align*} s^2 &= h^2 + l^2 \\ s^2 &= \left({\frac{1}{10}}l\right)^2+l^2 \\ s^2 &= {\frac{1}{100}} l^2 + l^2 \\ s^2 &= 1,01 l^2 && | :1,01 \\ l^2 &= {\frac{s^2}{1,01}} && | \sqrt{...}\\ l &= \sqrt{\frac{s^2}{1,01}} \\ l &= \sqrt{\frac{(800\text{m})^2}{1,01}} \\ l &\approx 796 \text{m} \end{align*}

Diesen Wert für den horizontalen Weg l kannst du nun nutzen, um den Höhenunterschied h zu berechnen.

h = \frac{1}{10} \cdot l = \frac{1}{10} \cdot 796 \text{m}

h \approx 79,6 \text{m}

Antwort: Der Endpunkt der 800 Meter langen Strecke liegt also 79,6 m höher als der Startpunkt. 

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