In diesem Artikel erklären wir dir, was die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist und wie du sie berechnest. Am Ende findest du einige Aufgaben mit Lösungsvorschlag zum selber üben.
Du möchtest direkt am Beispiel sehen, wie du den Scheitelpunkt aus der Scheitelform berechnest? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich!
Mit der Scheitelpunktform kannst du jede quadratische Funktion
als Parabel darstellen. Sie hat die Form
f(x) = a (x – d)2 + e
Den Scheitelpunkt
kannst du daran direkt ablesen, er lautet: S(d|e). a ist ein Faktor, der die Steilheit der Parabel angibt.
Beispiel: Der Scheitelpunkt der Funktion f(x) = 2 (x – 3)2 + 1 liegt bei S(3|1).
Der Scheitelpunkt ist der höchster bzw. tiefster Punkt einer Parabel- abhängig davon, ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist.
Achtung: Pass auf, dass du kein Vorzeichen übersiehst! Wenn du beispielsweise aus f(x)=2(x + 3)2 + 1 den Scheitelpunkt berechnen willst, erhältst du S(–3|1)!
Insgesamt gibt es drei verschiedene Arten von Funktionsgleichungen , mit denen du eine quadratische Funktion beschreiben kannst. Sie lauten:
Jede dieser Formen hat Vor- und Nachteile. Welche du verwendest, hängt in erster Linie davon ab, ob du an den Nullstellen interessiert bist oder den Scheitelpunkt berechnen willst.
Wichtig ist in jedem Falle, dass der Parameter ist, da wir sonst statt einer quadratischen Funktion eine lineare Funktion
erhalten würden. Das
gibt den Öffnungsgrad der Parabel an und bestimmt, ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist.
Wie du die verschiedenen Darstellungsformen ineinander umwandelst damit du ganz einfach die Scheitelpunkte berechnen kannst, zeigen wir dir jetzt:
Am häufigsten rechnest du die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um. Die Idee dabei ist, die binomischen Formeln zu nutzen, um die beiden Formen mittels quadratischer Ergänzung ineinander umzuwandeln. Ausführlich erklären wir dies im Artikel zur quadratischen Ergänzung . Hier zeigen wir es dir konkret an einem Beispiel:
Angenommen, du willst die Scheitelform von mittels quadratischer Ergänzung bestimmen.
Die Scheitelpunktform von ist somit gleich
. Daraus können wir
direkt ablesen und brauchen nicht extra den Scheitelpunkt berechnen.
Analog funktioniert das Ganze natürlich auch, wenn du die Normalform in Scheitelform umrechnen möchtest.
Merke: Die Scheitelform ist ein Versuch, eine quadratische Funktion als „binomische Formel mit Rest“ zu interpretieren.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann man jede Parabelgleichung auf die Form einer binomischen Formel bringen:
mit und
. Setzt du die Werte ein und multiplizierst die binomische Formel aus, erhältst du die linke Seite.
Hast du die Scheitelpunktform bereits gegeben und interessierst dich für die allgemeine Form, weil du beispielsweise mit der Mitternachtsformel die Nullstellen berechnen willst, so brauchst du keine quadratische Ergänzung. Stattdessen multiplizierst du einfach aus. Auf die gleiche Art und Weise kannst du auch die Scheitelpunktform in Normalform umrechnen.
Willst du zum Beispiel die allgemeine Form aus der Scheitelform berechnen, gehst du wie folgt vor:
Die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung ist insbesondere bei der Nullstellenbestimmung sehr nützlich, weil du sie direkt ablesen kannst. Beispielsweise hat
die beiden Nullstellen
und
. Um diese Form möglichst geschickt in Scheitelform
zu bringen, musst du die Koordinaten
vom Scheitelpunkt berechnen. Dazu gehst du folgendermaßen vor:
Merke: Der Wert für bleibt in der Scheitelform immer erhalten!
Nun zeigen wir dir ein paar Aufgaben mit Lösungen zum Thema Scheitelpunktform und Scheitelpunkt berechnen.
Stelle die Scheitelform einer Normalparabel auf, die den Scheitelpunkt hat.
Um die Scheitelform aus dem Scheitelpunkt zu berechnen, musst du die Koordinaten einsetzen
Um den Öffnungsgrad der Parabel zu bestimmen, brauchst du noch weitere Informationen, zum Beispiel einen Punkt auf der Parabel. Hier hast du jedoch gegeben, dass es sich um eine Normalparabel handeln soll, das heißt
. Die Scheitelpunktform lautet somit
Bestimme die Koordinaten vom Scheitelpunkt der Parabel , indem du die Scheitelpunktform aufstellst.
Um die Scheitelpunktform zu bestimmen, musst du eine quadratische Ergänzung durchführen. Dazu klammerst du zuerst den Faktor aus
Das Minus in der Klammer verrät dir, dass du hier die zweite binomische Formel verwenden musst mit und
. Du musst also
quadratisch ergänzen:
Das vereinfachst du nun und erhältst die Scheitelpunktform
Der Scheitelpunkt hat somit die Koordinaten .
Berechne die Scheitelform der quadratischen Gleichung mit .
Die quadratischen Funktion mit der Gleichung besitzt die beiden Nullstellen
und
. Da der Scheitel genau dazwischen liegt, ist
. Nun müssen wir noch die y-Koordinate vom Scheitelpunkt berechnen. Dazu setzen wir
in die Funktionsgleichung ein und erhalten
Als Scheitelpunktform berechnen wir daher . Das hättest du auch direkt ablesen können, wenn du erkannt hast, dass es sich bei
um die dritte binomische Formel handelt. Du könntest den Ausdruck daher schreiben als
.
Das solltest du zum Scheitelpunkt berechnen wissen:
Geschafft! Du weißt nun, wie du eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform bringst und wie du ihre Scheitelpunkte berechnen kannst. Das machst du unter anderem mithilfe der quadratischen Ergänzung. Schau dir unser Video dazu an, um das Thema noch einmal ausführlich erklärt zu bekommen!
Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.
Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.
Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.
Danke!
Dein Studyflix-Team
Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.