Mathe Grundlagen
Lineare Funktionen
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Schnittpunkt zweier Geraden einfach erklärt

Den Punkt, in dem sich zwei Geraden treffen, nennst du Schnittpunkt. Du kannst ihn auf zwei Arten bestimmen.

Liegt dein Schnittpunkt direkt auf einem Kästchen, kannst du ihn ganz einfach ablesen. Hier schneiden sich die Graphen im Schnittpunkt S(1|3).

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Schnittpunkt zweier Geraden

Ist die Zeichnung aber zu ungenau, musst du den Schnittpunkt rechnerisch bestimmen. Wie das geht, zeigen wir dir anhand unserer 5-Schritt-Anleitung!

Schnittpunkt zweier Geraden berechnen: Allgemeine Vorgehensweise

Mit dieser Anleitung kannst du jeden Schnittpunkt ganz einfach berechnen!

Schnittpunkt zweier Geraden berechnen – kurz & knapp
  1. Funktionen gleichsetzen.
  2. Nach x auflösen.
  3. y- Koordinate berechnen
  4. Probe: x in die zweite Gleichung einsetzen
  5. Schnittpunkt angeben

Schau dir nun an ein paar Beispielen an, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest.

Beispiel 1

Gesucht wird der Schnittpunkt zweier Geraden\textcolor{blue}{f(x) = 2 \cdot x - 2}  und \textcolor{purple}{g(x)= -\frac{2}{3}\cdot x+6}

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Schnittpunkt zweier Geraden

Graphisch kannst du die Koordinaten von S(3|4) zwar ablesen, du willst sie aber rechnerisch überprüfen: 

Schritt 1: Funktionen gleichsetzen     

2 \cdot x -2 &= -\frac{2}{3} \cdot x +6

Schritt 2: Nach x auflösen  

    \begin{align*} 2 \cdot x -2 &= -\frac{2}{3} \cdot x +6 \quad \quad \quad \quad &|&+2 \\ 2 \cdot x &= -\frac{2}{3} \cdot x +8 \quad \quad \quad \quad &|& + \frac{2}{3} \cdot x \\ \frac{8}{3} \cdot x &= 8 \quad \quad \quad \quad &|& \cdot \frac{3}{8} \\ x&=3 \end{align*}

Schritt 3: y-Wert berechnen

Setze x=3 in f(x) = 2\cdot x -2  ein. Du erhältst als Ergebnis 2 \cdot 3 -2 = 4.

Schritt 4: Probe

Zur Probe setzt du x=3 auch noch in g(x) ein und erhältst

-\frac{2}{3}\cdot 3+6 = 4

4 = 4

 

Schritt 5: Schnittpunkt angeben

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist S(3|4).

Beispiel 2

Gegeben sind die beiden Funktionsgraphen \textcolor{purple}{g(x) = \frac{1}{2} \cdot x +5} und \textcolor{blue}{f(x) = \frac{1}{2} \cdot x +2}. Bestimme iheren Schnittpunkt!

Auch hier kannst du wieder die 5 Schritte von oben anwenden, um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen.

Schritt 1: Funktionen gleichsetzen     

    \[ \frac{1}{2} \cdot x +5 =  \frac{1}{2} \cdot x +2 \]

Schritt 2: Nach x auflösen  

    \[ \frac{1}{2} \cdot x +5 =  \frac{1}{2} \cdot x +2 \qquad | -\frac{1}{2} \cdot x  \]

\textcolor{red}{2 = 5}

Das ist offensichtlich immer falsch! Dein falsches Ergebnis sagt dir, dass sich die Geraden nicht schneiden.

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Parallele Geraden

Das siehst du auch im Funktionsgraph: Hier haben die beiden Geraden dieselbe Steigung und damit keinen Schnittpunkt. Stattdessen sind sie echt parallel

Merke

Einen Schnittpunkt gibt es nur, wenn die Steigung der Funktionsgleichungen nicht gleich ist.

  • z. B. f(x) = 2x + 1 und h(x) = 0,5x + 2,5.

Haben zwei Funktionen dieselbe Steigung, sind sie entweder echt parallel (keinen Schnittpunkt) oder identisch (unendlich viele Schnittpunkte).

  • z. B. f(x) = 1/2x + 2 und g(x) = 1/2x + 5 
  • oder f(x) = 3x – 4 und g(x) = 3x – 4

Schnittpunkt zweier Geraden: Vektordarstellung

In der analytischen Geometrie ist die Vektordarstellung von Geraden im Raum sehr verbreitet. Hier wird im Gegensatz zu oben die Gerade als Sammlung von Punkten interpretiert, wobei ausgehend von einem Aufpunkt die Richtung angegeben wird. Als nächstes zeigen wir dir, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden der folgenden Form berechnen kannst:

f:\vec{x}=\vec{A} + \lambda \cdot \vec{v}     und     g:\vec{x} = \vec{B} + \lambda \cdot \vec{u}

Die beiden Punkte \vec{A} und \vec{B} werden Aufpunkte der Geraden genannt, \vec{u} und \vec{v} heißen Richtungsvektoren. 

Schnittpunkt zweier Vektoren: Allgemeine Vorgehensweise

Da wir hier Geraden im dreidimensionalen Raum betrachten, ist die zeichnerische Methode um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, sehr unzuverlässig. Rechnerisch funktioniert es – so wie oben – durch Gleichsetzen der beiden linearen Funktionen. Wie genau du am besten vorgehst, beschreiben wir dir Schritt für Schritt: 

  • Schritt 1: Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, betrachtest du zuerst die Richtungsvektoren \vec{u} und \vec{v} der beiden Geradengleichungen. Ist einer davon das Vielfache des anderen, das heißt sind die Vektoren linear abhängig , dann sind die Geraden entweder identisch oder echt parallel. Um das zu überprüfen, setzt du den Aufpunkt \vec{A} in die Gerade g ein und prüfst, ob du \lambda eindeutig bestimmen kannst.  
  • Schritt 2: Sind die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig, so kannst du entweder den Schnittpunkt der Vektoren berechnen, oder die Geraden sind windschief. Um das herauszufinden, setzt du die beiden Funktionsgleichungen gleich und löst das zugehörige lineare Gleichungssystem.
  • Schritt 3: Nun setzt du den errechneten x-Wert in eine der beiden Geradengleichungen ein, um die y-Koordinate des Schnittpunktes zu berechnen. 

Diese Vorgehensweise um den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen, zeigen wir dir am besten direkt an einigen Beispielen.

Achtung: Es kann sein, dass du den Schnittpunkt zweier Geraden im Raum nicht berechnen kannst, obwohl sie linear unabhängige Richtungsvektoren haben! Im Raum können sich auch Geraden nicht schneiden, obwohl sie nicht parallel sind! Sie liegen sozusagen in unterschiedlichen Ebenen. Solche Geraden nennt man windschief!

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Windschiefe Geraden im Raum

Beispiel 1

Gegeben sind die beiden Funktionen

f:\vec{x} = \left( \begin{matrix}1 \\ 1\\ -2 \end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right)     und     g:\vec{x} = \left( \begin{matrix}5\\ -1\\6 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right).

Zuerst überprüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren \vec{u} = \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right) und \vec{v} = \left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right) linear abhängig oder linear unabhängig sind. Damit siehst du sofort, ob es einen Schnittpunkt zweier Geraden überhaupt gibt.

Durch scharfes Hinsehen oder Lösen des zugehörigen linearen Gleichungssystems sehen wir, dass die beiden Vektoren \vec{u} und \vec{v} mit \lambda = -0,5 linear abhängig sind. Die Geraden f und g sind somit entweder identisch oder echt parallel. Um das herauszufinden, setzen wir den Punkt \vec{B}=\left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right) in f:\vec{x} = \left( \begin{matrix}1 \\ 1\\ -2 \end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right) ein und berechnen \lambda

\left( \begin{matrix}5\\ -1\\6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}1 \\ 1\\ -2 \end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ -1\\ 4 \end{matrix} \right)

(I)         5 = 1 + \lambda \cdot 2

(II)       -1 = 1 + \lambda \cdot (-1)

(III)        6 = -2 + \lambda \cdot 4

Für \lambda = 2 sind alle drei Gleichungen erfüllt. Das bedeutet, dass \vec{B}=\left( \begin{matrix}-1 \\ 0,5\\ -2 \end{matrix} \right) auf beiden Geraden liegt. Daher sind sie identisch und nicht echt parallel. 

Beispiel 2

Den Schnittpunkt zweier Geraden in Vektordarstellung wollen wir in diesem Beispiel berechnen. Dafür sei gegeben:

f:\vec{x} = \left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right)     und     g:\vec{x} = \left( \begin{matrix}2\\ -1\\3 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)

Hier sind die beiden Richtungsvektoren \vec{u} = \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) und \vec{v} = \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right) linear unabhängig. Um herauszufinden, ob wir den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen können, oder ob sie windschief zueinander liegen, setzen wir die beiden Funktionen gleich:

\left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \lambda \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix}2\\ -1\\3 \end{matrix} \right)+ \mu \cdot \left( \begin{matrix}0 \\ 1\\ -1 \end{matrix} \right)

(I)          1 + 2\cdot \lambda = 2

(II)          0 = 1-1 \cdot \mu

(III)          4 \cdot \lambda = 3 -  \mu

Aus (I) folgt direkt, dass hier \lambda = \frac{1}{2} gelten muss und aus (II) bestimmen wir \mu = 1. Nun setzen wir beides in die dritte Gleichung ein und erhalten 2=2. Damit schneiden sich die beiden Geraden und wir können den Schnittpunkt zweier Geraden durch Einsetzen von \lambda oder \mu berechnen:

\left( \begin{matrix}1 \\ 0\\0\end{matrix} \right)+ \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{matrix}2 \\ 0\\ 4 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} \right)

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Schnittpunkt zweier Geraden im Raum

y Achsenabschnitt berechnen

Super! Du kannst jetzt den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen. In unserem Video zum Y Achsenabschnitt zeigen wir dir, wie du den Schnittpunkt mit der Y-Achse berechnen kannst. Schau es dir gleich an!

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Zum Video: y Achsenabschnitt berechnen

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