Algebra Schüler
Gleichungen & Ungleichungen
 – Video

Hier erklären wir dir, was eine Substitution ist und wie du mit dem Substitutionsverfahren Gleichungen lösen kannst. Schau dir am besten auch gleich unser Video dazu an!

Was ist eine Substitution?

Stell dir vor, du willst die Lösung der folgenden Gleichung berechnen: x^4-x^2-2=4. Was auf den ersten Blick schwierig aussieht, kannst du mit einer Substitution und Resubstitution leicht lösen. Hierfür ersetzt du \color{blue}{x^2} durch die neue Variable \color{red}{z} und löst du die Gleichung in  vier Schritten:

1. Substitution: Du ersetzt in der Gleichung \color{blue}{x^2} durch \color{red}{z}.

2. Berechnung von \color{red}{z}: Das machst du zum Beispiel mit Hilfe der Mitternachts- oder pq-Formel

3. Resubstitution: Nun ersetzt du \color{red}{z} wieder durch \color{blue}{x^2}.

4. Berechnung von \color{blue}{x}: Nachdem du \color{red}{z} kennst, kannst du jetzt auch \color{blue}{x} leicht berechnen. 

Im folgenden Beispiel zeigen wir dir, wie du durch Substituieren die Lösungen einer Gleichung findest.

Substitution in Mathe – Beispiel

Lass uns als Beispiel die folgende Gleichung mit dem Substitutionsverfahren lösen:

    \[x^4-x^2-2=4\]

Als erstes bringst du alles auf eine Seite, indem du 4 auf beiden Seiten abziehst.

    \begin{align*}  \ x^4-x^2-2&=4 \;\; \; |-4\\ \ x^4-x^2-6&=0\\ \end{align*}

Dann stellst du fest, dass du diese Gleichung auch umschreiben kannst.

    \[({\textcolor{blue}{x^2})^2-\textcolor{blue}{x^2}-6&=0\]

Wann verwende ich eine Substitution?

Wenn in einer Gleichung als Variablen nur x^2 und x^4 vorkommen, kannst du sie immer durch Substituieren lösen. Das ist zum Beispiel hier der Fall:

    \[x^4-x^2-6=0\]

 

Schauen wir uns jetzt an, wie du Schritt für Schritt vorgehst:

1. Substitution: Du ersetzt \color{blue}{x^2} durch \color{red}{z}, sodass du eine vereinfachte Gleichung erhältst.

    \begin{align*}(\textcolor{blue}{x^2})^2-\textcolor{blue}{x^2}-6&=0\\(\textcolor{red}{z})^2-\textcolor{red}{z}-6&=0\\\end{align*}

2. Berechnung von \textcolor{red}{z}: Jetzt kannst du diese Gleichung mit der Mitternachtsformel (alternativ p-q-Formel ) lösen:

    \begin{align*} \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1\cdot (-6)}}{2 \cdot 1}\\ \color{red}{z_{1,2}} &= \frac{1 \pm 5}{2}\\ \color{red}{z_1}&=\frac{6}{2}=3 \;\; \text{und} \;\;\textcolor{red}{z_2} =\frac{-4}{2}=-2\\ \end{align*}

3. Resubstitution: \textcolor{red}{z} ersetzt du nun wieder durch \textcolor{blue}{x^2}:

    \begin{align*} &\textcolor{red}{z_1} = 3  &\textcolor{red}{z_2} = -2\\ &\textcolor{blue}{x^2}=3 &\textcolor{blue}{x^2} =-2\\ \end{align*}

4. Berechnung von \textcolor{blue}{x}: Nun musst du nach \textcolor{blue}{x} auflösen. Hierfür musst Du die Wurzel aus 3 und -2 ziehen:

    \begin{alignat*}{3} \textcolor{blue}{x^2} &=3 \;\;&\Leftrightarrow \;\;& \textcolor{blue}{x_{1,2}}  = \pm\sqrt{3}\\ \textcolor{blue}{x^2} &=-2 \;\;&\Leftrightarrow \;\;& \textcolor{blue}{x_{3,4}}  =\pm\sqrt{-2}\\ \end{alignat*}\begin{align*}\end{align*}

Vorsicht: Aus negativen Zahlen darfst du keine Wurzel ziehen! Das heißt also, dass es für \textcolor{blue}{x^2}=-2 keine Lösung gibt.

Deine zwei Lösungen lauten daher \textcolor{blue}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{3}. Gar nicht so schwer, oder?

Weitere Übung im Substitutionsverfahren

Du willst das Substituieren noch einmal üben? Dann haben wir noch eine zweite Aufgabe für dich:

    \[2x^4-18x^2+28=0\]

Diese Gleichung kannst du auch umschreiben:

    \[2\cdot(\textcolor{blue}{x^2})^2-18\cdot\textcolor{blue}{x^2}+28=0\]

1. Substitution: Als Erstes musst du \textcolor{blue}{x^2} durch \textcolor{red}{z} substituieren.

    \[2\cdot(\textcolor{red}{z})^2-18 \cdot\textcolor{red}{z}+28=0\]

2. Berechnung von \textcolor{red}{z}: Jetzt kannst du \textcolor{red}{z} mit der Mitternachtsformel leicht bestimmen.

    \begin{align*}\textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2-4 \cdot 3\cdot 28}} {2 \cdot 2}\\\textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm \sqrt{324-224}} {4}\\\textcolor{red}{z_{1,2}}&= \frac{18 \pm 10} {4}\\\textcolor{red}{z_1}& = \frac{28}{4} = 7 \;\; \text{und} \;\; \textcolor{red}{z_2} = \frac{8}{4} = 2\\\end{align*}

3. Rücksubstitution: Das Substitut \textcolor{red}{z} ersetzt du wieder durch \textcolor{blue}{x^2}.

    \begin{align*} \textcolor{red}{z_1}&= 7 \;\; &\textcolor{red}{z_2}= 2\\ \textcolor{blue}{x^2}&= 7 \;\; &\textcolor{blue}{x^2}= 2\\ \end{align*}

4. Berechnung von \textcolor{blue}{x}: Nun löst du nach \textcolor{blue}{x} auf.

    \begin{alignat*}{3} \textcolor{blue}{x^2}=7  \;\;&\Leftrightarrow&  \;\;\textcolor{blue}{x_{1,2}}=\pm\sqrt{7}\\ \textcolor{blue}{x^2}=2  \;\;&\Leftrightarrow&  \;\;\textcolor{blue}{x_{3,4}}=\pm\sqrt{2}\\ \end{alignat*}

Durch Substituieren hast du die Lösungen für \textcolor{blue}{x} herausgefunden. Sie lauten:

    \[\textcolor{blue}{x_1}=\sqrt{2}, \textcolor{blue}{x_2}=-\sqrt{2}, \textcolor{blue}{x_3}=\sqrt{7}, \textcolor{blue}{x_4}=-\sqrt{7} \]

Quadratische Ergänzung

Das Substitutionsverfahren ist nur eine Möglichkeit, in Mathe Gleichungen nach x aufzulösen. Damit du für deine nächste Prüfung auch wirklich gut vorbereitet bist, schau dir gleich noch unser Video zur quadratischen Ergänzung an – eine weitere gute Methode, um x zu bestimmen!

Zum Video: Quadratische Ergänzung
Zum Video: Quadratische Ergänzung

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.