Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
 – Video

Wie kannst du Brüche dividieren? Dieses Thema erklären wir dir hier an vielen Beispielen. Du findest auch am Ende Aufgaben zum Üben. Schau dir unser Video an, um die Division von Brüchen anschaulich erklärt zu bekommen.

Wie dividiert man Brüche?

Beim Bruchrechnen kannst du Brüche dividieren (geteilt rechnen), indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst , also malnimmst.

Sollst du zum Beispiel

\frac{1}{5}:\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}},

berechnen, dann bildest du zuerst den Kehrwert, indem du Zähler und Nenner des Bruchs vertauschst.

\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}   →   \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}}

Danach wandelst du die Division „:“ in eine Multiplikation „⋅“ um. Ersetze „:“ durch „⋅“.

\frac{1}{5}\,: \,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{1}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}}

Anschließend berechnest du dann einfach das Ergebnis.

\frac{1}{5}\,: \,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{1}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}}=\frac{4}{15}

Erinnerung: Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest.

Bruch durch Bruch teilen

Du kannst einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs malnimmst. Dabei gehst du wie folgt vor:

Vorgehensweise
  1. Kehrwert des zweiten Bruchs berechnen.
  2. Division in eine Multiplikation umwandeln.
  3. Ergebnis berechnen

Beispiel

\frac{1}{6}\,:\,\frac{3}{7}

1. Kehrwert berechnen: Berechne den Kehrwert des zweiten Bruchs (\frac{3}{7}), durch den geteilt werden soll. Dafür tauschst du den Zähler 3 mit dem Nenner 7

\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}}   →   \frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{3}}.

2. Division in Multiplikation umwandeln: Ersetze den zweiten Bruch durch den Kehrwert und „:“ (geteilt) wird zu „⋅“ (mal).

\frac{1}{6}\,:\,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}}=\frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{3}}

3. Ergebnis berechnen: Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

\frac{1}{6}\,:\,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}}=\frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{3}}=\frac{1\,\cdot\,7}{6\,\cdot\,3}=\frac{7}{18}

Weitere Beispiele 

\frac{9}{10}\,:\,\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{7}} = \frac{9}{10}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{2}}=\frac{9\,\cdot\,\textcolor{red}{7}}{10\,\cdot\,\textcolor{blue}{2}}=\frac{63}{20}

\frac{5}{13}\,:(-\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{9}})= \frac{5}{13}\,\cdot\,\frac{(-\textcolor{red}{9})}{\textcolor{blue}{2}}=\frac{5\,\cdot\,(-\textcolor{red}{9})}{13\,\cdot\,\textcolor{blue}{2}}=\frac{(-45)}{26}

\frac{11}{3}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{11}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}=\frac{11\,\cdot\,\textcolor{red}{4}}{3\,\cdot\,\textcolor{blue}{7}}=\frac{44}{21}

Merke:  Bei der Division von Brüchen multiplizierst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

\frac{a}{b}:\frac{\textcolor{blue}{c}}{\textcolor{red}{d}} = \frac{a}{b}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{d}}{\textcolor{blue}{c}}

Brüche dividieren mit ganzen Zahlen

Beim Dividieren von Brüchen durch ganze Zahlen, musst du die Zahl zuerst in einen Bruch umwandeln. Dazu schreibst du die Zahl als Zähler auf den Bruchstrich. Der Nenner ist bei ganzen Zahlen immer die 1 (\textcolor{blue}{3}=\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{1}}).

Vorgehensweise
  1. Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln.
  2. Kehrwert des zweiten Bruchs berechnen.
  3. Division in Multiplikation umwandeln.
  4. Ergebnis berechnen.

Beispiel

\frac{7}{3} : 5

1. Zahl in einen Bruch umwandeln: Du kannst alle Zahlen auch als Bruch schreiben. Die Zahl ist dabei der Zähler. Der Nenner ist bei ganzen Zahlen immer 1.

\frac{7}{3}:\textcolor{blue}{5} = \frac{7}{3}:\frac{\textcolor{blue}{5}}{1}

Jetzt hast du wieder zwei Brüche und kannst wie im vorherigen Beispiel weitermachen.

2. Kehrwert berechnen: Vertausche Zähler und Nenner des zweiten Bruchs. 

\frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{1}}\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{5}}

3. Division in Multiplikation umwandeln: Ersetze den zweiten Bruch durch den Kehrwert und aus „:“ (geteilt) wird „⋅“ (mal).

\frac{7}{3}:\frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{7}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{5}}

4. Ergebnis berechnen: Der Zähler 7 bleibt stehen, da er mit 1 multipliziert wird.

\frac{7}{3} : 5=\frac{7\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{3\,\cdot\,\textcolor{blue}{5}} =\frac{7}{15}

Weitere Beispiele

\frac{11}{5}:\textcolor{blue}{4}=\frac{11}{5}:\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{11}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{4}}=\frac{11\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{5\,\cdot\,\textcolor{blue}{4}}=\frac{11}{20}

\frac{3}{10}:\textcolor{blue}{2}=\frac{3}{10}:\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{3}{10}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}}=\frac{3\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{10\,\cdot\,\textcolor{blue}{2}}=\frac{3}{20}

\frac{3}{2}:\textcolor{blue}{7}=\frac{3}{2}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{3}{2}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{7}}=\frac{3}{14}

Merke: Bei der Division von Brüchen mit ganzen Zahlen, muss die Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Dann hast du wieder 2 Brüche die du, wie oben erklärt, teilen kannst.

\frac{a}{b} : \textcolor{blue}{c} = \frac{a}{b} : \frac{\textcolor{blue}{c}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{a}{b} \,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{c}}=\frac{a\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{b\,\cdot\, \textcolor{blue}{c}}

Gemischte Brüche dividieren

Es kann auch eine Division gegeben sein, die nicht nur Brüche beinhaltet. Es kann auch sein, dass du eine Mischung aus Zahl und Bruch (Gemischte Zahl) dividieren sollst. Dann musst du die gemischte Zahl vor dem Teilen in einen Bruch umwandeln.

Ein Bruch hat immer einen Wert von 1, wenn Zähler und Nenner gleich sind (Bsp.: \frac{3}{3} = 1). Das heißt, wenn vor einem Bruch eine Zahl steht, multiplizierst du sie mit dem Nenner und addierst sie zum Zähler. Der Nenner selbst bleibt unverändert stehen.

Vorgehensweise
  1.  Gemischten Bruch in unechten Bruch umwandeln.
  2.  Kehrwert berechnen.
  3.  Division in Multiplikation umwandeln.
  4.  Ergebnis berechnen.

Beispiel

2\frac{2}{3}:\frac{7}{4}

1. Gemischten Bruch in unechten Bruch umwandeln: Dazu multiplizierst du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner und addierst sie zum Zähler.

\textcolor{blue}{2}\frac{2}{\textcolor{red}{3}}:\frac{7}{4}=\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{3}\,+\,2}{\textcolor{red}{3}}:\frac{7}{4}=\frac{8}{3}:\frac{7}{4}

2. Kehrwert berechnen: Vertausche Zähler und Nenner des zweiten Bruchs

\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}

3. Division in Multiplikation umwandeln: Ersetze den zweiten Bruch durch den Kehrwert und aus „:“ (geteilt) wird „⋅“ (mal).

\frac{8}{3}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{8}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}

4. Ergebnis berechnen

\frac{8}{3}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{8}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}= \frac{8\,\cdot\,\textcolor{red}{4}}{3\,\cdot\,\textcolor{blue}{7}}=\frac{32}{21}

Weitere Beispiele

\textcolor{blue}{3}\frac{1}{\textcolor{red}{3}}:\textcolor{blue}{2}\frac{1}{\textcolor{red}{8}}=\frac{\textcolor{blue}{3}\,\cdot\,\textcolor{red}{3}\,+\,1}{\textcolor{red}{3}}:\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{8}\,+\,1}{\textcolor{red}{8}}=\frac{10}{3}:\frac{\textcolor{blue}{17}}{\textcolor{red}{8}}=\frac{10}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{17}}=\frac{80}{51}

\textcolor{blue}{2}\frac{1}{\textcolor{red}{3}}:4=\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{3}\,+\,1}{\textcolor{red}{3}}:4=\frac{7}{3}:4=\frac{7}{3}:\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{7}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{4}}=\frac{7\,\cdot\,1}{3\,\cdot\,4}=\frac{7}{12}

5:\textcolor{blue}{2}\frac{2}{\textcolor{red}{5}}=\frac{5}{1}:\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{5}\,+\,2}{\textcolor{red}{5}}=\frac{5}{1}:\frac{\textcolor{blue}{12}}{\textcolor{red}{5}}=\frac{5}{1}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{12}}=\frac{25}{12}

Merke: Bei der Division von gemischten Brüchen, musst du die Zahl vor dem Teilen mit auf den Bruchstrich ziehen, indem du sie mit dem Nenner multiplizierst und zum Zähler addierst.

\textcolor{blue}{a}\frac{b}{\textcolor{red}{c}} : \frac{d}{e} = \frac{\textcolor{blue}{a}\,\cdot\,\textcolor{red}{c} \,+\,b}{\textcolor{red}{c}}:\frac{\textcolor{blue}{d}}{\textcolor{red}{e}}=\frac{a \cdot c + b}{c} \cdot \frac{\textcolor{red}{e}}{\textcolor{blue}{d}}

Brüche dividieren Aufgaben

Hier haben wir noch ein paar Übungsaufgaben zum Dividieren von Brüchen für dich vorbereitet. Berechne:

  • \frac{12}{5}:\frac{6}{7}=
  • 7:\frac{3}{2}=
  • (-\frac{5}{7})\,:\,(-\frac{8}{14})=

Jetzt kannst du überprüfen, ob du zu jeder Aufgabe zur Division von Brüchen die richtige Lösung gefunden hast.

Lösung 

  • \frac{12}{5}:\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{7}}=\frac{12}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{6}}=\frac{12\,\cdot\,7}{5\,\cdot\,6}=\frac{84}{30}=\frac{14}{5}
  • \textcolor{blue}{7}:\frac{3}{2}=\frac{7}{1}:\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{2}}=\frac{7}{1}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}}=\frac{7\,\cdot\,\textcolor{red}{2}}{1\,\cdot\,\textcolor{blue}{3}}=\frac{14}{3}
  • (-\frac{5}{7})\,:\,(-\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{14}})=(-\frac{5}{7})\,\cdot\,(-\frac{\textcolor{red}{14}}{\textcolor{blue}{8}})=\frac{(-5)\,\cdot\,(-\textcolor{red}{14})}{7\,\cdot\,\textcolor{blue}{8}}=\frac{70}{56}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}

Weitere Videos

Jetzt weißt du, wie man Brüche multiplizieren und dividieren kann. Wenn du jetzt noch mehr zum Thema Brüche erfahren willst, schau dir gleich unsere anderen Videos zum Bruchrechnen an.

In einem anderen Video zeigen wir dir außerdem viele typische Aufgaben mit Lösungen zur Division von Brüchen.

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Zum Video: Bruchrechnung Aufgaben

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