Geometrie
Geometrische Körper
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Hier erfährst du, was das Volumen von einem Quader ist und wie die Formel zum Berechnen des Quader Volumens lautet. Außerdem zeigen wir dir, wie du das Volumen vom Würfel berechnen kannst. Du willst dir das lieber visuell erklären lassen? Dann schau dir gleich unser Video an!

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders oder Würfels? 

Ein Quader ist ein Körper, der aus Rechtecken besteht. Und was ist ein Volumen? Das Volumen vom Quader gibt dir an, wie viel Luft oder Wasser in den Körper hinein passt. Diesen Rauminhalt vom Quader kannst du mit der Volumenformel bestimmen. 

V = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c}

Dabei ist \textcolor{blue}{a} die Länge, \textcolor{red}{b} die Breite und \textcolor{orange}{c} die Höhe des Quaders.

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Quader mit Volumen

Das Volumen vom Würfel ist ein Spezialfall vom Quader Volumen, weil beim Würfel alle Seiten gleich lang sind. 

V = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}

Hinweis: Bei der Volumenberechnung von Quader oder Würfel erhältst du das Ergebnis in einer Volumeneinheit (cm³, m³,…).

Quader und Würfel Formeln 

Volumen Quader: V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c 

Oberfläche Quader: O_{\text{Quader}} = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c

Volumen Würfel: V_{\text{Würfel}} = a \cdot a \cdot a

Oberfläche Würfel: O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot a \cdot a

Volumen berechnen Würfel

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels? Der Würfel ist im Prinzip ein Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind. Für das Volumen von einem Würfel brauchst du nur die Seitenlänge a

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Würfel Volumen

Schauen wir uns direkt ein Beispiel an!

Beispiel

Gegeben ist für die Volumenberechnung ein Würfel mit Kantenlänge \textcolor{blue}{a=5\text{m}}. Daraus kannst du mit der Formel das Volumen vom Würfel bestimmen. 

  • Formel aufstellen:

V = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{a}

  • Angaben einsetzen:

V = \textcolor{blue}{5\text{m}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{m}} \cdot \textcolor{blue}{5\text{m}} 

  • Ergebnis berechnen:

V = 25\text{m}^2 \cdot 5\text{m} = 125\text{m}^3

So funktioniert das Volumen berechnen bei jedem Würfel.

Volumen berechnen Quader

Die Volumenberechnung beim Quader ist ganz einfach, wenn du dir die Formel einprägst. Schauen wir uns gleich mal an einem Beispiel an, wie du den Rauminhalt berechnen kannst. 

Beispiel

Um das Volumen zu berechnen, ist ein Quader mit den Seitenlängen \textcolor{blue}{a=8\text{cm}}, \textcolor{red}{b = 5\text{cm}} und \textcolor{orange}{c=3\text{cm}} gegeben. Wie rechnet man das Volumen aus? Die Volumenberechnung beim Quader erfolgt in drei Schritten und du benötigst dafür die Volumenformel

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Beispiel: Quader Volumen berechnen
  • Formel aufstellen:

V = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{orange}{c}

  • Angaben einsetzen:

V = \textcolor{blue}{8\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{5\text{cm}} \cdot \textcolor{orange}{3\text{cm}}

  • Ergebnis berechnen:

V = (8 \cdot 5 \cdot 3)\text{cm}^3 = 120\text{cm}^3

Auf diese Art kannst du immer das Volumen eines Quaders berechnen. Beachte, dass du zur Berechnung vom Volumen die drei Seiten a, b und c in der gleichen Längeneinheit brauchst. 

Seitenlänge aus Volumen berechnen 

Wenn du das Volumen eines Quaders und zwei Seitenlängen gegeben hast, kannst du daraus ganz leicht die fehlende Seitenlänge berechnen. In unserem Beispiel beträgt das Quader Volumen V=216\text{cm}^3. Außerdem sind die Seiten \textcolor{blue}{a=4\text{cm}} und \textcolor{red}{b=6\text{cm}} gegeben. Du sollst also die Quader Höhe c berechnen.

  • Formel aufstellen: Für die Seitenlänge musst du das Volumen durch die anderen Seiten teilen.

\textcolor{orange}{c} = \frac{V}{\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}}

  • Angaben einsetzen:

\textcolor{orange}{c} = \frac{216\text{cm}^3}{\textcolor{blue}{4\text{cm}} \cdot \textcolor{red}{6\text{cm}}}

  • Ergebnis berechnen:

\textcolor{orange}{c} = \frac{216\text{cm}^3}{24\text{cm}^2} = \frac{216}{24}\text{cm} = 9\text{cm}

Um die Quader Höhe berechnen zu können, müssen also die anderen beiden Seiten a und b gegeben sein. 

Fläche aus Volumen berechnen

Aus einem gegebenen Quader Volumen V=70\text{m}^3 und der Höhe \textcolor{orange}{c=7\text{m}} kannst du die Größe der Grundfläche G = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} berechnen. Dafür musst du nur das Volumen des Quaders durch die Seitenlänge c teilen. 

  • Formel aufstellen:

G = \frac{V}{\textcolor{orange}{c}}

  • Angaben einsetzen:

G = \frac{70\text{m}^3}{\textcolor{orange}{7\text{m}}}

  • Ergebnis ausrechnen:

G = \frac{70}{7}\text{m}^2 = 10\text{m}^2

Die Grundfläche G ist also 10m² groß. Genauere Angaben zu \textcolor{blue}{a} und \textcolor{red}{b} kannst du nicht machen.

Volumen Formel Quader und Würfel

Schauen wir uns noch an, woher die Volumenformel vom Quader eigentlich kommt. Um das Volumen von einem Quader berechnen zu können, füllst du den ganzen Körper schrittweise. Die Quader Formel für das Volumen startet beim Rechteck. Du füllst sozusagen erstmal nur den Boden. 

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Grundfläche vom Quader

Der erste Schritt ist beim Volumen berechnen das Rechteck. Diese Grundfläche vom Quader kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt vom Rechteck bestimmen. 

G = a \cdot b

Jetzt hast du einmal die ganze Bodenfläche gefüllt und kannst ausgehend vom Rechteck das Volumen bestimmen. Nun stapelst du diese Flächen aufeinander, wie bei einem Stapel Papier. Dann geht es nur noch darum, wie hoch der Stapel werden soll. Das verrät dir die Seitenlänge c, die du jetzt mit der Grundfläche mal nimmst. So entsteht das Volumen aus dem Rechteck.

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Quader Volumen in Schichten

Zum Schluss ergibt sich damit die Volumen Formel vom Quader.

V = a \cdot b \cdot c

Die Volumenberechnung vom Quader geht damit ganz einfach. Die Berechnung vom Volumen eines Würfels funktioniert im Prinzip genauso. Nur die Grundlage beim Würfel ist für das Volumen ein Quadrat

Volumen Pyramide

Neben Quader und Würfel gibt es noch andere Körper, bei denen du das Volumen berechnen kannst. So erklären wir dir in diesem Video , was eine Pyramide ist und wie die Formel für das Pyramidenvolumen funktioniert.

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Zum Video: Volumen Pyramide

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