Deskriptive Statistik

Eine Variable
Harmonisches Mittel

Mit dem harmonischen Mittel lassen sich Mittelwerte von Verhältniszahlen berechnen. Wie das geht zeigen wir dir in diesem Beitrag.

Das harmonische Mittel als Mittelwert von Verhältniszahlen

Das harmonische Mittel ist ein weiterer Lageparameter der Statistik und kommt bei Verhältniszahlen zur Anwendung. Verhältniszahlen sind Brüche, die eine Beziehung widerspiegeln. Also zum Beispiel Studenten pro Einwohner oder Preis pro Quadratmeter. Die allgemeine Formel zur Berechnung sieht so aus:

Harmonisches Mittel
Das harmonische Mittel ist die Anzahl der Ausprägungen geteilt durch die Summe der Kehrwerte

Wir teilen also die Anzahl der Ausprägungen durch die Summe der Kehrwerte unserer Ausprägungen!

Berechnung des harmonischen Mittels – Beispiel

Rechnen wir nun zusammen ein Beispiel:

Angenommen du machst einen Wochenendausflug und fährst eine dreiteilige Strecke. Der erste Streckenabschnitt ist 50 km lang und du fährst 150 km/h. Der zweite Streckenabschnitt ist 60 km lang und der dritte 90 km. Auf den letzten beiden Strecken fährst du 120km/h bzw. 90 km/h.

Harmonisches Mittel
Tabelle mit den Streckenlängen und den Geschwindigkeiten

Jetzt sollst du die Geschwindigkeit berechnen, mit der du durchschnittlich unterwegs warst. Da es sich bei der Geschwindigkeit ja um eine Verhältniszahl handelt, nämlich Kilometer pro Stunde, geht das mit dem harmonischen Mittel. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen müssen wir unsere Formel von oben leicht abwandeln:

Harmonisches Mittel
Abwandlung der Formel für das harmonische Mittel

Du teilst also die Summe der Länge der Teilstrecke durch die Summe der Quotienten aus der Teilstrecke und der Geschwindigkeit der Teilstrecke. In unserem Beispiel rechnen wir also 50 plus 60 plus 90 geteilt durch 50 durch 150 plus 60 durch 120 plus 90 durch 90. Als Ergebnis erhalten wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 109,09 km/h.

Harmonisches Mittel
Einsetzen der Werte in die Formel

Anwendung des gewichteten arithmetischen Mittels

Wenn du die Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem normalen arithmetischen Mittel berechnen würdest, würdest du eine falsche Lösung erhalten, weil du nicht berücksichtigen würdest, dass du die verschiedenen Geschwindigkeiten ja unterschiedlich lange fährst. Es gibt aber einen Trick wie du auch mit dem arithmetischen Mittel auf die richtige Lösung kommst und zwar indem du die Geschwindigkeiten mit den Zeiten gewichtest. Die Formel dazu sieht so aus:

Harmonisches Mittel
Formel für das gewichtete arithmetische Mittel

Hi steht dabei für die Zeit, die du brauchst um den jeweiligen Streckenabschnitt zurückzulegen und xi steht wieder für die Geschwindigkeit. In unserem Beispiel würde die Rechnung also so aussehen:

Harmonisches Mittel
Einsetzen der Werte führt zum selben Ergebnis wie vorhin

Wie du siehst, kannst du also auch mit dem gewichteten arithmetischen Mittel auf das richtige Ergebnis kommen!

Jetzt weißt du wie du das harmonische Mittel berechnest und dass du mit dem gewichteten arithmetischen Mittel auf dasselbe Ergebnis kommst!

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