Deskriptive Statistik

Varianz und Standardabweichung

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel zeigt dir wie du die Varianz berechnen kannst und wird dir bei der Interpretation der Varianz helfen. Dazu berechnen wir nach der Definition die Standardabweichung mit den jeweiligen Fomeln anhand eines Beispiels.

In unserem Video zur Varianz und Standardabweichung zeigen wir dir, wie du mehr Informationen aus deinen Daten erhalten kannst ohne diesen langen Artikel lesen zu müssen!

Varianz Statistik

Die empirische Varianz ist ein Maß, das die Streuung der Daten um den Mittelwert angibt. Dieses Streuungsmaß bildet ab, wie weit die einzelnen Werte vom Durchschnitt entfernt liegen und stellt somit eine Art durchschnittliches Abweichungsquadrat dar. Deshalb wird sie auch als empirisches Streuungsquadrat oder Stichprobenvarianz bezeichnet.

Varianz Beispiel

Das ist dir zu abstrakt? Dann stell dir folgendes Beispiel vor:
Du hast zwei verschiedene Glücksspiele: Beim Ersten kannst du entweder 100€ gewinnen oder 100€ verlieren, beim Zweiten genau einen Euro gewinnen, beziehungsweise verlieren. Obwohl beide Glücksspiele genau den gleichen Erwartungswert, nämlich 0, haben, ist ihre Varianz ganz unterschiedlich.

Varianz
Beispiel Varianz

Das ist auch logisch, schließlich liegen 100€ sehr viel weiter von null Euro entfernt als ein Euro.

Varianz Formel

Um die Varianz auch in der Praxis berechnen zu können, benötigst du folgende Formel:

{\bar{s}}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2

Du quadrierst also die Summe der Differenzen der einzelnen Werte und dem Erwartungswert und teilst das alles anschließend durch die Anzahl der Werte in deiner Datenmenge. Da sich aber, wie du siehst, in der Formel eine Differenz befindet, ist ihre Berechnung nur für kardinalskalierte Daten möglich.
In der Statistik wird allerdings häufig mit sehr großen Datenmengen gerechnet, so dass es uns oft nicht möglich ist alle Werte zu erfassen, beziehungsweise zu berücksichtigen. Gerade bei der Berechnung per Taschenrechner wird es bei vielen Werten sehr schnell unübersichtlich. Deshalb arbeiten wir oft mit Stichproben. In solch einem Fall benutzt man aber eine andere Formel:

s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2

Die Unterschiede sind gering, dürfen aber keinesfalls übersehen werden. Wir teilen jetzt nicht mehr durch n, sondern durch n minus 1 und tauschen den Erwartungswert mu gegen das sogenannte Stichprobenmittel, also den Mittelwert der Stichprobe. Merk‘ dir, je größer deine Stichprobe ist, desto genauer ist deine berechnete Varianz.

Varianz berechnen

Zum Schluss rechnen wir mit dir noch ein Beispiel. Da das arithmetische Mittel ein Teil der Formel der Varianz ist, muss dieser gegeben sein, oder zuerst berechnet werden. Wir nehmen hierzu unseren Datensatz aus dem Video Mittelwert, Median und Modus, der einen Erwartungswert von 3,2 hat.
Das setzen wir in unsere Formel ein und erhalten eine Varianz von 3,76:

Varianz berechnen

Varianz Standardabweichung

Weil wir unsere Werte bei der Berechnung der Varianz quadrieren, ist eine Interpretation des Ergebnisses sehr schwer und eher abstrakt. Um dieses Problem zu lösen, gibt es die Standardabweichung. Aber was ist die Standardabweichung? Sie ist die Wurzel der Varianz und ermöglicht uns genaue Aussagen über die Streuung der Daten. Die Berechnung der Varianz kann somit als Zwischenschritt gesehen werden, um das gebräuchlichere Streuungsmaß der Standardabweichung ermitteln zu können.

Standardabweichung Definition

Die empirische Standardabweichung ist wie die Varianz ein Streuungsmaß der Statistik. Mithilfe dieser statistischen Kennzahl können konkrete Aussagen über Streuung der Werte um einen Mittelwert gemacht werden.

Standardabweichung berechnen

Hat man den Erwartungswert und die Varianz bereits ermittelt ist die Berechnung der Standardabweichung sehr einfach. Man muss lediglich die die Wurzel aus der Varianz ziehen.

Standardabweichung berechnen

Standardabweichung Formel

Die allgemeine Standardabweichung Formel ist folgende:

\bar{s}=\sqrt{{\bar{s}}^2} bzw s=\sqrt{s^2}

Setzten wir die Werte für unser konkretes Beispiel ein, ergibt sich eine empirische Standardabweichung von 1,94

\bar{s}=\sqrt{{3,76}^2}\approx1,94

Standardabweichung Interpretation

Dieser Wert unseres Standardabweichung Beispiels verrät uns nun, dass die Werte im Durchschnitt etwa um 1,94 vom Mittelwert abweichen. Du weißt nun also, wie du die Varianz und die Standardabweichung berechnest und welche Schlüsse du daraus ziehen kannst. Vergiss aber nicht zwischen den beiden verschiedenen Formeln der Varianz zu unterscheiden, je nachdem ob du eine Vollerhebung oder eine Stichprobe betrachtest.


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