Mechanik
Kraftarten der Mechanik
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Hookesches Gesetz einfach erklärt

Das Hookesche Gesetz beschreibt die Auswirkung einer Kraft auf einen elastisch verformbaren Körper. Bei so einem Körper handelt es sich zum Beispiel um eine Feder, die gestreckt oder zusammengedrückt wird. Als Beispiel betrachten wir eine Feder mit unterschiedlichen Gewichten:

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Hooksches Gesetz Beispiel Feder
  Zusatzgewicht zusätzliche Länge Gesamtlänge
Feder 1 kein Zusatzgewicht keine Längenänderung Länge = x0
Feder 2 Zusatzgewicht: Masse m Längenänderung um Δx Länge = x0 + Δx
Feder 3 Zusatzgewicht: 2 Masse m Längenänderung um 2 • Δx Länge = x0 + 2 • Δx

Das heißt, eine Feder ohne Zusatzgewicht besitzt ihre ursprüngliche Länge x0. Hängst du ein Zusatzgewicht der Masse m an die Feder, dann zieht es mit seiner Gewichtskraft F an der Feder. Das führt zu einer Längenänderung von Δx. Hängst du ein zweites Gewicht der Masse m an die Feder, dann führt die doppelte Gewichtskraft 2 • F der Gewichte zu einer doppelten Längenänderung von 2 • Δx.

Diesen gleichmäßigen Zusammenhang der Krafteinwirkung und der Längenänderung beschreibst du mit der Formel des Hookeschen Gesetzes:

F = D • Δx

Dabei ist D die sogenannte Federkonstante. Sie gibt an, wie leicht du eine Feder verformen kannst.

Hookesches Gesetz Formel

Das Hookesche Gesetz beschreibt also den gleichmäßigen (linearen) Zusammenhang zwischen der Einwirkung einer Kraft und einer Längenänderung. Das Verhältnis der beiden Faktoren wird durch die sogenannte Federkonstante D beschrieben.

    \[D=\frac{ \text{Kraftänderung}}{ \text{Längenänderung}} = \frac{ \Delta F}{ \Delta x}\]

Die Federkonstante bleibt für eine bestimmte Feder immer konstant. Sie gibt also an, wie stark eine Feder ist, weshalb du auch von der Federstärke sprechen kannst. Je größer die Federkonstante, desto weniger dehnt sich also die Feder bei einer Krafteinwirkung.

Durch verschiedene Umformungen des Hookeschen Gesetzes kannst du jeweils entweder die Kraft F, die Längenänderung Δx oder die Federkonstante D berechnen:

∆F = D · ∆x

∆x = ∆F / D

D = ∆F / ∆x

Wichtig: Die jeweilige Kraft- und Längenänderung kannst du berechnen durch:

ΔF = F – F0

Δx = x – x0

In den meisten Fällen ist die anfängliche Kraft F0 einfach die Gewichtskraft der Feder und wird zur Vereinfachung gleich 0 gesetzt. Deshalb wird in der Formel oft von der Kraft F gesprochen und nicht von der Kraftänderung ΔF.

Hookesches Gesetz Beispiel

Jetzt berechnen wir ein Beispiel für das Hookesche Gesetz. Stell dir vor, du hängst eine Feder mit der Federkonstante D=0,02 \frac{\text{N}}{\text{m}} an der Decke auf. Anschließend hängst du ein Gewicht mit unbekannter Masse m an die Feder, wodurch sie um eine Länge von Δx = 15cm gestreckt wird. Wie groß ist also die Kraft, die auf die Feder wirkt?

Um die Gewichtskraft des Gewichtes zu berechnen, benötigst du die Formel des Hookeschen Gesetzes. Du löst es nach der Kraft F auf:

    \[F = D \cdot \Delta x\]

Hier kannst du jetzt einfach die bekannten Werte einsetzen. Damit du die Gleichung aber ausrechnen kannst, müssen auch die Einheiten stimmen. Dafür rechnest du noch die cm in m um:

    \[F=0,02\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 15\,\text{cm} = 0,02\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot\,0,15\, \text{m}\]

Jetzt musst du nur noch die Gleichung ausrechnen und kommst auf eine Kraft von:

    \[F=0,003\,\text{N}\]

Jetzt hängst du das gleiche Gewicht an eine andere Feder und misst dabei eine Streckung der Feder um Δx = 0,04 m. Wie groß ist also die Federkonstante dieser Feder?

Dafür benötigst du die Formel des Hookeschen Gesetzen umgeformt nach der Federkonstante D:

    \[D=\frac{F}{\Delta x}\]

Da du bereits die Gewichtskraft des Gewichtes berechnet hast (F=0,003\,\text{N}), kannst du es zusammen mit der Längenänderung einfach in die Formel einsetzen und erhältst:

    \[D=0,075\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\]

Expertenwissen: eindimensionale Druckbelastung

In etwas komplexeren Fällen wird das Hookesche Gesetz auch mithilfe der mechanischen Spannung σ beschrieben. Sie ist im Allgemeinen definiert als:

    \[\sigma=\frac{F}{A}\]

Dabei ist F die Kraft, die auf die Querschnittsfläche A des Objektes wirkt. Bei dem Objekt handelt es sich zum Beispiel um einen Stab mit einem bestimmten Durchmesser und einer Länge x0, an dem mit der Kraft F gezogen wird.

Angenommen es wird in x-Richtung an dem Stab gezogen, dann wird die Dehnung \varepsilon_{\text{x}} beschrieben durch:

    \[\varepsilon_{\text{x}}=\frac{\Delta \text{x}}{x_{\text{0}}}\]

Δx ist dabei die Längenänderung in x-Richtung und x0 ist die ursprüngliche Länge. Statt der Federkonstante wird hier das sogenannte Elastizitätsmodul E eingeführt. Wie bei der Federkonstante lässt sich dieses aber berechnen durch:

    \[E = \frac{\sigma}{\epsilon_{\text{x}}}\]

Damit kannst du jetzt also, wie bei den Federn, das Verhältnis zwischen einer Krafteinwirkung und einer Dehnung oder Stauchung verschiedener elastischer Objekte berechnen.

Wenn du mehr über die eindimensionale Druckbelastung wissen willst, dann schau dir unseren Beitrag zur Hookeschen Gerade an.

Federpendel

Eine wichtige Anwendung des Hookeschen Gesetzes ist das sogenannte Federpendel. Was es damit auf sich hat und wie du die sogenannte Schwingungsgleichung eines Federpendels aufstellen kannst, erfährst du in unserem Beitrag dazu.

Zum Video: Schwingungsgleichung Fadenpendel
Zum Video: Schwingungsgleichung Fadenpendel

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