Mathe Grundlagen
Integralrechnung
 – Video

Aufleiten nennst du auch integrieren. Wie das funktioniert, zeigen wir dir hier und in unserem Video.

Aufleiten einfach erklärt

Aufleiten heißt in der Mathematik integrieren oder Stammfunktion finden. Mit der Aufleitung erhältst du die Fläche unter deinem Funktionsgraphen.

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Aufleiten liefert dir die Fläche F(x) unter deinem Graphen f(x).
Aufleiten und Ableiten

Wenn du dein Integral (oder auch Stammfunktion) F(x) ableitest, bekommst du wieder die ursprüngliche Funktion (oder auch Integralfunktion) f(x) heraus. Deswegen nennst du die Integralrechnung auch oft Aufleiten; das Gegenteil zum Ableiten (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

    \[ F(x) = \int_0^x f(t)\mathop{\mathrm{d}t}  \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x) = f(x) \]

Um aufzuleiten, gibt es verschiedene Integrationsregeln. Hier zeigen wir dir die partielle Integration und die Integration durch Substitution etwas genauer.

Konstanten aufleiten

Schaue dir zu erst das Aufleiten von Zahlen und Konstanten mit der Potenzregel an. Ist deine Integralfunktion eine Zahl, musst du sie einfach nur mit x multiplizieren und die Integrationskonstante C addieren. Wir haben dir ein paar Beispiele vorbereitet:

    \begin{align*} f(x) = 3 \quad&\Longrightarrow\quad F(x) = 3x+C \\ f(x) = 6 \quad&\Longrightarrow\quad F(x) = 6x+C\\ f(x) = 8 \quad&\Longrightarrow\quad F(x) =8x+C \end{align*}

Konstanten integrieren

Du integrierst eine Konstante, indem du sie mit x multiplizierst und +C addierst. C steht für eine beliebige Zahl. Du brauchst die Integrationskonstante, weil es für eine Integrationsfunktion f(x) unendlich viele Stammfunktionen F(x) gibt. F(x)=3x+4 und F(x)=3x+7 sind zum Beispiel beide eine Stammfunktion von f(x)=3. Wenn du die Integrale 3x+4 und 3x+7 ableitest, bekommst du beide Male die Funktion f(x)=3.

Intergationsregeln

Hier erfährst du alle Regeln zum Aufleiten.

Potenzregel und Faktorregel 

Wie funktioniert das Aufleiten von Potenzfunktionen? Schaue dir zum Beispiel 3x2 an. Mit der Potenzregel und der Faktorregel kannst du auch diese Stammfunktion finden:

    \[ f(x) = a\cdot x^n \quad\Longrightarrow\quad F(x) = \frac{a\cdot x^{n+1}}{n+1}  + C\]

Hier ist deine Hochzahl n=2 und dein Vorfaktor a=3. Setze beides in deine Integrationsregel ein!

    \[ F(x) = \frac{3 \cdot x{2+1}}{2+1} + C = \frac{3 \cdot x{3}}{3} + C = x^3+C \]

Du musst also beim Aufleiten nur deinen Exponenten mit 1 addieren und die Funktion durch den neuen Exponenten n+1 teilen. Wenn Du die Stammfunktion ableitest, bekommst du wieder deine ursprüngliche Integralfunktion f(x) heraus. Hier sind noch ein paar Beispiele:

    \begin{align*} f(x) = 3x \quad&\Longrightarrow\quad F(x) = \frac{3\cdot x^{1+1}}{1+1}  + C = \frac{3\cdot x^2}{2}  + C\\ f(x) = 6x^3 \quad&\Longrightarrow\quad F(x) =\frac{6\cdot x^{3+1}}{3+1}  + C = \frac{3\cdot x^4}{2}  + C\\ f(x) = 8x^4 \quad&\Longrightarrow\quad F(x) = \frac{8\cdot x^{4+1}}{4+1}  + C = \frac{8\cdot x^5}{5}  + C \end{align*}

Summenregel

Die Summenregel vom Ableiten gibt es auch beim Aufleiten. Wenn du mehrere Summanden hast, darfst du sie einzeln integrieren. Schaue dir am besten ein Paar Beispiele an:

    \begin{align*} f(x) = \textcolor{red}{3x} + \textcolor{blue}{8x^4} \quad&\Longrightarrow\quad F(x) = \textcolor{red}{\frac{3x^2}{2}} + \textcolor{blue}{\frac{8\cdot x^5}{5}} + C \\ f(x) = \textcolor{red}{6x^3} + \textcolor{blue}{5x^2} + \textcolor{olive}{x} \quad&\Longrightarrow\quad F(x) = \textcolor{red}{\frac{3x^4}{2}} + \textcolor{blue}{\frac{5x^3}{3}} + \textcolor{olive}{\frac{x^2}{2}} +C \end{align*}

Partielle Integration

Wenn deine Funktion ein Produkt ist und du ihr Integral berechnen willst, brauchst du die partielle Integration :

    \begin{gather*} f(x) = u(x)\cdot v'(x) \\ \int f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = u(x)\cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \mathop{\mathrm{d}x} \end{gather*}

Das verstehst du am besten mit einem Beispiel. Wie lautet die Aufleitung der Exponentialfunktion f(x) = 2x · ex?

Beispiel 1: f(x)=2x · ex

Als Erstes musst du die Teilfunktionen u(x) und v'(x) festlegen: f(x) = u(x) · v'(x). Das ist der schwierigste Schritt. Wenn du die Teilfunktionen falsch herum definierst, funktioniert das Aufleiten nicht. Falls deine partielle Integration mal nicht funktioniert, kannst du versuchen deine Teilfunktionen anders herum zu definieren: f(x) = v'(x) · u(x).

Hier muss u(x)=2x und v'(x)=ex sein. Das Produkt deiner Teilfunktionen ist wieder deine ursprüngliche Funktion f(x)! Jetzt musst du v'(x) aufleiten und u(x) ableiten. u(x) kannst du ganz leicht mit der Faktor und Potenzregel ableiten und das Integral deiner e-Funktion  ist gleich der e-Funktion selbst.

    \[\begin{array}{cc} \textcolor{blue}{u = 2x} & \textcolor{teal}{u' = 2} \\ \textcolor{orange}{v' = e^x}&\textcolor{red}{v}= \int \textcolor{orange}{e^x} \mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{e^x} \end{array}\]

Jetzt musst du nur noch deine Teilfunktionen in deine Integrationsregel einsetzen:

    \begin{align*} F(x) &= \int f(x) \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \int \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{orange}{v'} \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{red}{v} - \int \textcolor{teal}{u'} \cdot \textcolor{red}{v} \mathop{\mathrm{d}x} \\ &= \textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{e^x} - \int \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{e^x} \mathop{\mathrm{d}x} \end{align*}

Dein Vorfaktor 2 kannst du aus der Integralfunktion ziehen und vor das Integral schreiben. Dann musst du nur die Exponentialfunktion aufleiten und ausklammern.

    \begin{align*} F(x) &= \textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{e^x} - \textcolor{teal}{2}  \underbrace{ \int \textcolor{red}{e^x} \mathop{\mathrm{d}x} }_{e^x + C} \\ F(x) &= \textcolor{blue}{2x}\cdot \textcolor{red}{e^x} - \textcolor{teal}{2} e^x +C \\ F(x) &= \int f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = (x-1) \cdot 2e^x \end{align*}

Beispiel 2: f(x)=1 · ln(x)

Auch den natürlichen Logarithmus kannst du partiell integrieren. Fange wieder mit den Teilfunktionen u(x) und v'(x) an und berechne die Aufleitung und Ableitung. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x.

    \[\begin{array}{cc} \textcolor{blue}{u = \ln(x)} & \textcolor{teal}{u' = \frac{1}{x}} \\ \textcolor{orange}{v' = 1}&\textcolor{red}{v =} \int \textcolor{orange}{1} \mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{x} \end{array}\]

Setze die Teilfunktionen in deine Integrationsregel ein! Vereinfache deine Gleichung, um die Stammfunktion zu bilden.

    \begin{align*} F(x) &= \textcolor{blue}{u}\cdot \textcolor{red}{v} - \int \textcolor{teal}{u'} \cdot \textcolor{red}{v} \mathop{\mathrm{d}x} \\ F(x) &= \textcolor{blue}{\ln(x)}\cdot \textcolor{red}{x} - \int \underbrace{\cancel{ \textcolor{teal}{\frac{1}{x}} \cdot \textcolor{red}{x} } }_{1}\mathop{\mathrm{d}x} \\ F(x) &= \textcolor{blue}{\ln(x)}\cdot \textcolor{red}{x} - \int 1 \mathop{\mathrm{d}x} \\ F(x) &= \textcolor{blue}{\ln(x)}\cdot \textcolor{red}{x} - x + C \\ F(x) &= x\cdot [\ln(x) - 1] + C \end{align*}

Integration durch Substitution

Manchmal musst du beim Aufleiten auch eine Substitution durchführen. Was ist das genau? Bei der Integration durch Substitution ersetzt du einen Teil deiner Funktion durch eine einfacher Variable. Das macht das Integrieren viel einfacher. Nachdem du deine Stammfunktion berechnen konntest, setzt du wieder den ursprünglichen Term ein (Resubstitution) und bist fertig!

Substitution Integral berechnen

Für die Integration durch Substitution brauchst du diese drei Schritte:

  1. Substitution durch neue Variable z
  2. dx im Integral durch dz ersetzen
  3. Integral lösen und resubstituieren

Schaue dir das am besten an ein paar Beispielen an!

Beispiel 1: Brüche integrieren

Berechne das Integral von der Funktion f(x) durch Substitution! Halte dich einfach an den Drei-Punkte-Plan.

    \[ f(x) = \frac{1}{4x+3} \]

Schritt 1: Führe die Substitution durch. Ersetze dafür den Nenner 4x+3 durch eine neue Variable z:

    \begin{gather*} z = 4x+3\\ f(x) = \frac{1}{z} \end{gather*}

Schritt 2: Leite z nach x ab. Die Ableitung kannst du auch als dz/dx schreiben. Danach musst du die Ableitung nach dx umstellen. Das ist sehr wichtig. Im nächsten Schritt siehst du, warum du das brauchst.

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=  z' \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= (4x+3)'  \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &=  4\phantom{(x+3)'} \;\left|\, \cdot\mathop{\mathrm{d}x} \cdot \frac{1}{4}\right \\ \mathrm{d}x &= \frac{\mathrm{d}z}{4} \end{align*}

Schritt 3: Bilde die Stammfunktion von f(x)=1/z. Damit du das Integral berechnen kannst, musst du dx durch dx=dz/4 ersetzen. Deshalb ist Schritt 2 wichtig gewesen.

    \begin{align*} F(x) &= \left\int \frac{1}{z} \mathop{\textcolor{red}{\mathrm{d}x}}\right \\ F(x) &= \left\int \frac{1}{z} \mathop{\textcolor{red}{\frac{\mathrm{d}z}{4}}}\right \end{align*}

Das Integral von 1/z ist gleich ln|z|+C. Den Vorfaktor 1/4 kannst du vor das Integral ziehen. Zuletzt schreibst du anstelle von z wieder z=4x+3 in deiner Stammfunktion (Resubstitution).

    \begin{align*} F(x) &= \textcolor{red}{\frac{1}{4}} \cdot \textcolor{blue}{\left\int \frac{1}{z} \mathop{\mathrm{d}z}\right} \\ F(x) &= \textcolor{red}{0,25} \cdot \textcolor{blue}{\ln|z| + C} \\ F(x) &= 0,25\cdot \ln|4x+3| + C \end{align*}

Beispiel 2: Integration Sinusfunktion

Integriere f(x)=sin(2-5x) durch Substitution! Das Vorgehen ist wie im Beispiel vorher.

Schritt 1: Substitution. Ersetze die Klammer durch z!

    \begin{gather*} z = 2-5x \\ f(x) = \sin(z) \end{gather*}

Schritt 2: Ableitung. Stelle dz/dx nach dx um!

    \begin{align*} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= (2-5x)' \\ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= -5 \\ \mathrm{d}x &= \frac{\mathrm{d}z}{-5} \end{align*}

Schritt 3: Integration und Resubsitution. Integriere f(x) nach z und ersetze anschließend z durch 2-5x. Das Integral von sin(z) ist -cos(z)+C.

    \begin{align*} F(x) &= \int \sin(z) \mathop{\textcolor{red}{\mathrm{d}x}} \\ F(x) &= \left\int \sin(z) \mathop{\textcolor{red}{\frac{\mathrm{d}z}{-5}}} \right\\ F(x) &= -\frac{\cos(z)}{\textcolor{red}{-5}} +C \\ F(x) &= \frac{\cos(2-5x)}{5} +C \end{align*}

Integralrechnung

Wir haben dir auch ein Video mit mehr Details und Beispielen vorbereitet. Schaue dir gleich mal die Integralrechnung an!

Zum Video: Integralrechnung
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