Lineare Interpolation
Eine lineare Interpolation ist ziemlich nützlich, wenn du Funktionswerte schätzen möchtest. Wie das funktioniert, lernst du in diesem Beitrag und in unserem Video.
Inhaltsübersicht
Lineare Interpolation — einfach erklärt
Mit der linearen Interpolation kannst du Werte zwischen zwei Punkten annähernd bestimmen (interpolieren). Das ist vor allem dann hilfreich, wenn du Funktionswerte suchst, ohne die Funktionsgleichung zu kennen:
Angenommen, eine Firma verkauft Taschenrechner. Tests haben gezeigt, dass bei einem Preis von 10 € insgesamt 1000 Stück verkauft werden können. Bei einem Preis von 20 € verkaufen sich jedoch nur 200 Stück. Jetzt möchte die Firma herausfinden, wie viel Taschenrechner zu einem Preis von 14 € verkauft werden könnten.
Mit der linearen Interpolation kannst du diesen Wert angenähert bestimmen.
Wichtig: Ein interpolierter Wert ist nur eine Annäherung. Er ist also nicht zu 100 % genau, kann aber trotzdem nützliche Informationen liefern.
Lineare Interpolation — Formel
Mit der linearen Interpolation können die Werte eines gewünschten Punkts A zwischen zwei Punkten P1 und P2 angenähert bestimmt werden. Die Formel dafür lautet:
![\[\mathbf{\textcolor{violet}{y(x)}=\textcolor{olive}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{olive}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{olive}{x_{1}}}\cdot\left({\textcolor{violet}x-\textcolor{olive}{x_{1}}}\right)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f225c6ee43f264e5ed38d37e661abb4a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In diese Formel setzt du die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte P1 (x1 | y1) bzw. P2 (x2 | y2) ein. Außerdem brauchst du den x-Wert des Punkts A (x | y(x) ), den du bestimmen willst.
Beispiel:
- P1 (-1|4)
- P2 (2|13)
- A (1| y(x))
In die Formel eingesetzt sieht das so aus:
In einem Graphen kannst du die beiden Punkte P1 und P2 zu einer Geraden verbinden. Alle Werte auf dieser Geraden kannst du mit der linearen Interpolation bestimmen.
In den meisten Fällen sind die Werte, die du in die Formel einsetzen musst, aber nicht direkt gegeben. Stattdessen musst du sie aus der Aufgabe herauslesen.
Lineare Interpolation Beispiel 1
Im Fall der Taschenrechner-Firma hast du alle nötigen Bestandteile gegeben:
- 1000 Käufer bei einem Preis von 10 €
- 200 Käufer bei einem Preis von 20 €
→ Wie viele Käufer bei einem Preis von 14 €?
Da du die Anzahl der potenziellen Käufer suchst, ist das der y-Wert all deiner Punkte. Dementsprechend ist der jeweilige Preis der x-Wert. Deine gegebenen Punkte sind also:
- P1 (10|1000)
- P2 (20|200)
- A (14| y(14))
Als Preis, also x-Wert, des gesuchten Punkts A hast du 14 gegeben. Mithilfe der linearen Interpolation kannst du jetzt den y-Wert, also die Anzahl potenzieller Käufer, angenähert bestimmen. Dafür setzt du die Werte in die Formel ein und vereinfachst sie:
![\[\textcolor{violet}{y}=\textcolor{olive}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{olive}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{olive}{x_{1}}}\cdot\left({\textcolor{violet}{x}-\textcolor{olive}{x_{1}}}\right)=\textcolor{olive}{1000}+\frac{\textcolor{blue}{200}-\textcolor{olive}{1000}}{\textcolor{blue}{20}-\textcolor{olive}{10}}\cdot\left(\textcolor{violet}{14}-\textcolor{olive}{10}\right)=1000+\frac{\left(-800\right)}{10}\cdot4=1000-320=680\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6c90fb332892514df6f3645ad9bdae4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nach der linearen Interpolation müssten also 680 Personen den Taschenrechner kaufen.
Gut zu wissen: In der Realität verläuft nicht alles linear. Im Graphen ist daher nur ein angenäherter Wert abgebildet. Der eigentliche Verlauf könnte viel kurvenreicher aussehen als der direkte Verlauf einer Geraden.
Lienare Interpolation Beispiel 2
Sehen wir uns ein weiteres Beispiel an, in dem du den Verlauf einer Funktion kennst, aber nicht ihren Funktionsterm. Zwei Punkte der Funktion sind gegeben, P1 (-2|-8) und P2 (2|8). Diesmal sollst du durch eine lineare Interpolation den Funktionswert bestimmen, der genau zwischen den beiden Punkten liegt.
Zuerst musst du diesmal den x-Wert des gesuchten Punkts bestimmen. Dafür addierst du die beiden x-Werte deiner Punkte und teilst diese durch 2, um ihren Mittelpunkt zu finden:
![\[x=\frac{\textcolor{olive}{x_{1}}+\textcolor{blue}{x_{2}}}{2}=\frac{\textcolor{olive}{-2}+\textcolor{blue}{2}}{2}=\frac{0}{2}=0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6617a9f1529c1d8bc844fcde56beb614_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Jetzt kannst du wie im ersten Beispiel deine Werte in die Formel einsetzen und erhältst den angenäherten Funktionswert:
![\[\textcolor{violet}{y}=\textcolor{olive}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{olive}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{olive}{x_{1}}}\cdot\left({\textcolor{violet}{x}-\textcolor{olive}{x_{1}}}\right)=\textcolor{olive}{-8}+\frac{\textcolor{blue}{8}-\left(\textcolor{olive}{-8}\right)}{\textcolor{blue}{2}-\left(\textcolor{olive}{-2}\right)}\cdot\left(\textcolor{violet}{0}-\left(\textcolor{olive}{-2}\right)\right)=-8+\frac{16}{4}\cdot2=-8+8=0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f66ebe5dcae21d121d7b0aafe2b6fb40_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der angenäherte Funktionswert liegt also bei y gleich 0.
Tipp: Wenn du eine lineare Interpolation in Excel durchführen willst, dann haben wir hier einen Beitrag für dich!
Lineare Interpolation — häufigste Fragen
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Was ist Interpolation?
Die lineare Interpolation ist eine mathematische Methode, um Werte zwischen zwei Messpunkten zu approximieren (annähern). Dafür wird eine Gerade zwischen den zwei Punkten P1 und P2 gebildet. Die Werte auf der Geraden dienen dann als Annäherung.
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Was ist die Formel für lineare Interpolation?
Die Formel für die lineare Interpolation lautet: y = y 1 + ( ( y2 − y1 ) / ( x2 − x1 ) ) • ( x − x1 ). Die gegebenen Punkte sind dabei P1 (x1|y1) und P2 (x2|y2) und lassen dich Werte zwischen ihnen angenähert bestimmen.
Linearisierung
Jetzt weißt du, wie du mit der linearen Interpolation Werte annähernd bestimmen kannst. Um nichtlineare Funktionen und Differenzialgleichungen anzunähern, brauchst du die Linearisierung. Wie das geht, zeigen wir dir hier!
