Mathe Grundlagen
Funktionen
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Du willst wissen, wie du eine Nullstelle berechnen kannst? Dann bist du bei unserem %Video undBeitrag genau richtig!

Nullstellen berechnen einfach erklärt

Die Nullstelle x0 einer Funktion ist die Stelle, an der ihr Graph die x-Achse schneidet. Um sie zu bestimmen, setzt du die Funktion gleich 0.

f(x) = 0

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Nullstellen berechnen

Zum Nullstellen berechnen kannst du je nach Art der Funktion unterschiedlich vorgehen:

Art der Funktion Nullstellenberechnung Beispiel
Lineare Funktion Funktion gleich null setzen; nach x auflösen f(x) = 2x – 3
Quadratische Funktion Mitternachstformel / pq-Formel f(x) = x2 + 4x – 5
e -Funktion natürlicher Logarithmus  f(x) = ex-1 – 2
Ganzrationale Funktion Polynomdivision f(x) = x3 + 3x2 – 4

Lineare Funktion Nullstelle

Lineare Funktion
  • f(x) = m · x + t
  • höchstens eine Nullstelle

Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x – 3. Dazu setzt du die Funktion gleich 0.

2x – 3 = 0

Jetzt kannst du die Gleichung nach x umstellen . Zuerst bringst du die 3 auf die andere Seite.

2x – 3 = 0          | + 3

2x = 3

Um das x auszurechnen%auszurechnen? <span style="color: #ff00ff;">done</span>, teilst du durch 2.

2x = 3                 | : 2

x = 1,5

Nullstelle bei x = 1,5.

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Lineare Funktion, Nullstelle

Quadratische Funktion Nullstellen

Quadratische Funktion
  • f(x) = ax2 + bx + c 
  • f(x) = x2 + px + q
  • höchstens zwei Nullstellen

Berechne die Nullstellen der Funktion f(x) = x2 + 4x – 5. Setzt du eine quadratische Funktion gleich 0, kannst du entweder die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden.

x2 + 4x – 5 = 0

Mitternachtsformel

x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1}

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}

x_{1,2} = \cfrac{-4 \pm 6}{2}

x1 = 1            x2 = -5

Nullstelle bei x1 = 1 und x2 = -5.

pq-Formel

Steht vor dem x2 kein Vorfaktor, kannst du zum Bestimmen der Nullstellen auch die pq-Formel verwenden:

x_{1,2} = -\cfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right) ^2-q}

x_{1,2} = -\cfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right) ^2+5}

x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4+5}

x_{1,2} = -2 \pm 3

x = 1            x = -5

Faktorisierte Form

Am leichtesten kannst du die Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen, wenn du die Funktion in faktorisierter Form  gegeben hast: f(x) = a (x – x1)(x – x2)

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Die Parabel hat somit die beiden Nullstellen x1 und x2.

Hier könntest du deine Funktion so umschreiben: f(x) = x2 + 4x – 5 = (x – 1)(x – (-5))

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Quadratische Funktion, Nullstellen

e- Funktion Nullstellen berechnen

e- Funktion
  • f(x) = ex
  • höchstens eine Nullstelle

Berechne die Nullstelle der e-Funktion f(x) = ex-1 – 2. Setze die Funktion dafür gleich 0.

ex-1 – 2 = 0

Isoliere ex-1 und löse mithilfe des natürlichen Logarithmus auf.

ex-1 – 2 = 0           | + 2

ex-1 = 2                  | ln(…)

x – 1 = ln(2)            | + 1

x = ln(2) +1

Nullstelle bei x = ln(2) + 1.

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e-Funktion, Nullstelle

Ganzrationale / kubische  Funktion Nullstellen berechnen

Ganzrationale Funktion
  • f(x) = ax3 + bx2 +cx + d
  • höchstens drei Nullstellen

Für die Nullstellenberechnung einer kubischen Funktion, kannst du die Polynomdivision verwenden. Schaue dir direkt unser Video dazu an.

Polynomdivision, Polynom, Polynome berechnen
Zum Video: Polynomdivision

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