Deskriptive Statistik

Erwartungswert

Was ist der Erwartungswert mü µ  und wie berechnet man diesen? Hier erfährst du, was dieser Mittelwert in der Stochastik aussagt und wie du mit der allgemeinen Formel Aufgaben zum Erwartungswert berechnen kannst.

Unser Video zum Erwartungswert erklärt dir alles strukturiert und mit anschaulichen Beispielen. So verstehst du das Thema noch schneller und kannst die Aufgaben aus den Übungsvideos zu fairen Spielen und dem Urnenmodell und auch deine Klausuraufgaben problemlos lösen!

Inhaltsübersicht

Erwartungswert einfach erklärt

Der Erwartungswert ist einfach gesagt der Durchschnitt, wenn ein  Versuch unendlich oft durchgeführt wird. Per Definition kann man für diesen Durchschnittswert auch den griechischen Buchstaben µ „mü“ verwenden. Du berechnest ihn, indem du die Ausprägung der Zufallsvariable mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizierst. Anschließend summierst du alles.%Bild einfügen - am besten mit Formel

So ist es möglich abzuschätzen, welchen Wert du langfristig erwarten kannst. Du kannst zum Beispiel prüfen, ob ein Spiel „fair“ ist. Das bedeutet zu gewinnen oder zu verlieren ist dann gleich wahrscheinlich. Dein erwarteter Gewinn wäre in diesem Fall gleich Null, da sich Gewinn und Verlust auf lange Sicht ausgleichen.

Erwartungswert berechnen

Bei der Berechnung solltest du den Erwartungswert jedoch nicht mit dem arithmetischen Mittel verwechseln. Diese beiden Mittelwerte sind laut dem Gesetz der Großen Zahlen nur identisch, wenn du den Versuch sehr oft durchführst.

Das folgende Beispiel verdeutlicht den Unterschied zwischen der Berechnung des Erwartungswerts und des arithmetischen Mittels; Ein Zufallsgenerator gibt mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit den Wert 0 oder 1 aus.

Der erwartet Mittelwert, also der Erwartungswert mü µ beträgt 0,5. Um diesen zu erhalten, multiplizierst du die Ausprägung der Zufallsgröße mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit und summierst alles. Wie genau du die Formel anwendest, erfährst du im Abschnitt „diskrete Zufallsvariable“.

Das arithmetische Mittel wird bei einer kleinen Anzahl an Wiederholungen noch vom Mittelwert abweichen. Wenn du bei 5 Wiederholungen beispielsweise die Ausprägung „0,1,0,0,1” erhälst, ergibt sich 0,4 als arithmetisches Mittel. Du summierst hier alle Werte und dividierst durch die Anzahl. Bei 20 Wiederholungen erhältst du dann zum Beispiel 11 mal eine 0 und 9 mal eine 1, dies ergibt ein arithmetisches Mittel von 0,45.

Du siehst also, umso größer die Anzahl der Zahlen wird, desto näher rückt der Mittelwert an den Erwartungswert. Die Wahrscheinlichkeit des Zufallsgenerators war hier immer gleich. Ändert sich die Wahrscheinlichkeit jedoch, berechnet man den Erwartungswert als gewichtetes arithmetisches Mittel. Dazu setzt du einfach die passenden Werte in die Formel ein.

Formel

Die Berechnung des Erwartungswertes erfolgt für diskrete Verteilungen und für stetige Verteilungen auf unterschiedliche Art und Weise. Eine diskreten Zufallsvariable nimmt eine abzählbare Menge an Ergebnissen an (Beispiel: Würfel), eine stetige Zufallsvariable nimmt hingegen unendlich viele, nicht abzählbare Werte an (Beispiel: Temperatur).

Diskrete Zufallsvariable

Mit der folgenden Formel kannst du den Erwartungswert mü µ bei einer diskret verteilten Zufallsvariable X berechnen.

E(X) =x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+...x_n\cdot P(X=x_n)

Beispiel Würfel: Du möchtest den Erwartungswert eines 6-seitigen Würfels bestimmen. Die Ausprägungen der Zufallsvariable X sind also die 6 Seiten eines Würfels

x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4,x_5=5, x_6=6

Alle Ausprägungen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Es handelt sich also um ein Laplace Experiment :

p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=\frac{1}{6}

Jetzt müssen wir nur noch in die Formel  bei diskreten Verteilungen einsetzen und erhalten für den Erwartungswert:

E(X) =1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+...+6\cdot \frac{1}{6}

=\sum\nolimits_{i=1}^6 a_i\cdot\frac{1}{6}

= 3,5

Stetige Zufallsvariable

Um den Erwartungswert mü µ einer stetigen Zufallsgröße zu berechnen, musst du das Integral bilden. Die Grenzen des Integrals hängen davon ab, wie weit die stetig verteilte Zufallsvariable definiert ist.

E(X)=\int_{a}^b x\cdot f(x)dx

Beispiel Temperatur: Die Temperatur in einem Kühlhaus kann zwischen 0 und 4 Grad Celsius variieren. Diese Temperaturschwankungen sind durch folgende Dichtefunktion gegeben ( x ist in Grad Celsius angegeben).

f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl}-0,125x+0,5 & \mbox{f\"ur} & 0<x<4 \\ 0 & \mbox{f\"ur} & sonst \end{array}\right

%Bild mit Berechnung auf Folie, sonst hier zu lange

Setzt du die Werte in die Formel ein, kommst du auf folgendes Ergebnis:

E(X)=\int_{0}^4{ x\cdot(-0,125x+0,5) dx}=1,\bar{3}

Das heißt, die zu erwartende Temperatur liegt im Schnitt bei ca. 1,3 Grad Celsius.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für die meisten konkreten Berechnungen ist eine vollständige Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung gar nicht nötig. Einen guten Überblick über die Verteilung liefern dir auch die  charakteristische Maßzahlen wie die Varianz und Standardabweichung oder eben der Erwartungswert.

Im Folgenden siehst du eine Auflistung der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie zum Beispiel der Normalverteilung , oder der Binomialverteilung mit deren Erwartungswerten.

Dichte Erwartungswert
Bernoulliverteilung f(x) = \left\{{\begin{matrix} p, &\text{f\"{u}r k }= 1\\1-p ,&\text{f\"{u}r k} = 0\\\end{matrix}\right} p
Binomialverteilung \text{B(n; p; k)} = \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k n \cdot p
Normalverteilung N(\mu,\sigma^2) \mu
Exponentialverteilung f(x) = \left(x\right)\left\{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq0\\0,&x<0\\\end{matrix}\right \frac{1}{\lambda}

Rechenregeln

Außerdem solltest du die drei folgenden Erwartungswert Rechenregeln auf jeden Fall im Kopf haben:

Regel 1) Der Erwartungswert von Summen zweier unterschiedlicher Zufallsvariablen lässt sich folgendermaßen umformen:

E(X+Y) = E(X)+E(Y)

Regel 2) Wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind, kannst du das Produkt zweier Erwartungswerte zusammenfassen bzw. trennen:

E(X\cdot Y) = E(X) \cdot E(Y)

Regel 3) Die lineare Transformationen zeigt die Umformung von Erwartungswerten, wenn diese Konstanten enthalten. b und c sind Konstanten  und X ist eine unabhängige Zufallsvariable.

E(b+c\cdot X)=b+c\cdot E(X)

Erwartungswert Aufgaben

So, jetzt bist du dran! Die Lösungen zu diesen Aufgaben findest du zusammen mit einer ausführlichen Erklärung in unseren Übungsvideos!

Aufgabe 1: faires Spiel

1a: Du hast folgendes Glücksrad mit 2€ Einsatz gegeben. Berechne den Erwartungswert, ist das Spiel fair?

Übungsaufgabe I: Faires Spiel
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Übungsaufgabe I: Faires Spiel

Zum Lösungsweg:

Zur Lösung:

1b: Du darfst die Auszahlung im grünen Feld ändern, alle anderen Werte müssen gleichbleiben. Wie hoch müsste die Auszahlung im grünen Feld sein, damit das Spiel fair ist?

Zum Lösungsweg:

Zur Lösung:

Erwartungswert: Übungsaufgabe I
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Erwartungswert: Übungsaufgabe I

Aufgabe 2: Urnenmodell

In einer Urne befinden sich 3 blaue und 6 rote, also insgesamt 9 Kugeln. Du ziehst 4 Kugeln ohne diese danach zurückzulegen. Die Reihenfolge ist dir nicht wichtig. Wie viele rote Kugeln wirst du erwartungsgemäß ziehen?

Zum Lösungsweg:

Zur Lösung:

Erwartungswert: Übungsaufgabe II
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Erwartungswert: Übungsaufgabe II

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