Wie berechnest du das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel berechnest du, indem du alle Werte einer Datenreihe addierst und die Summe durch die Anzahl n der Werte teilst. Die Werte bezeichnest du mit x₁, x₂ bis xₙ, das arithmetische Mittel mit x̄.

Was ist die Formel für den Mittelwert von zwei Zahlen?

Das arithmetische Mittel von zwei Zahlen a und b ist die Zahl m, die genau in der Mitte zwischen a und b liegt. Du kannst es so ausdrücken: m – a = b – m. Das bedeutet, dass der Mittelwert m gleich weit von a und b entfernt ist.

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Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der an häufigsten genutzte Durchschnittswert. Wie du es berechnen und interpretieren kannst, erfährst du hier!

Inhaltsübersicht

Was ist das Arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel ist ein Mittelwert in der Statistik. Um es zu berechnen, musst du alle einzelnen Messwerte addieren und das Ergebnis durch die Anzahl der Messwerte teilen.

Stell dir zum Beispiel drei Personen vor, die 80 kg, 75 kg und 55 kg wiegen. Du berechnest dann das arithmetische Mittel, indem du die Körpergewichte zusammenzählst und dann durch die Anzahl der Personen teilst — also 3.

$\bar{x} = \frac{\textcolor{blue}{80} + \textcolor{blue}{75} + \textcolor{blue}{55}}{\textcolor{green}{3}} = \frac{210}{\textcolor{green}{3}} = 70$

Das durchschnittliche Körpergewicht ist hier also 70 kg.

Artihmetisches Mittel — Formel

$\bar{x}=\frac{1}{\textcolor{green}n}\sum\limits_{i=1}^{\textcolor{green}n} \textcolor{blue}{x_i} = \frac{\textcolor{blue}{x_1} + \textcolor{blue}{x_2} +\textcolor{blue}{ x_3} +... + \textcolor{blue}{x_n}}{\textcolor{green}n}$

x_i→ Die einzelnen Messwerte
n → Die Anzahl an Messwerten

Wie kannst du das Arithmetische Mittel berechnen?

Sehen wir uns nun die Berechnung des arithmetischen Mittels Schritt für Schritt an einem Beispiel an. Fünf Studierende erhalten die folgenden Noten in einer Statistik-Klausur:

Student	A	B	C	D	E
*Note*	2	2	5	3	4

Das arithmetische Mittel berechnest du dann so:

Messwerte addieren: Zuerst rechnest du die einzelnen Noten aus dem Beispiel zusammen.
→ 2 + 2 + 5 + 3 + 4 = 16
Durch Anzahl der Messwerte teilen: Anschließend teilst du die Summe der Noten durch die Anzahl der Noten, die du zusammengerechnet hast. Dadurch erhältst du das arithmetische Mittel.
→ $\frac{16}{\textcolor{green}5} = 3,2$

Danach kannst du noch interpretieren, was das arithmetische Mittel in deinem Fall aussagt. In dem Beispiel beträgt es 3,2. Das bedeutet, die Studierenden haben im Durchschnitt eine Note von 3,2 erreicht.

Ausreißer beim arithmetischen Mittel

Das arithmetische Mittel kann durch Ausreißer — also durch extrem hohe oder niedrige Werte — stark beeinflusst werden. Wenn zum Beispiel ein Student eine sehr schlechte Note hat, kann das den Durchschnitt stark nach unten ziehen — obwohl alle anderen Noten besser sind.

Arithmetisches Mittel — fehlende Werte berechnen

Manchmal kennst du den Mittelwert schon. Stattdessen fehlt dir aber ein anderer Wert — beispielsweise ein einzelner Messwert:

$\bar{x}=\frac{2 + 2 + x_3 + 3 + 4}{5}=3,2$

Mit einer kleinen Anpassung der Formel kannst du den fehlenden Messwert berechnen. Dafür multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit der Anzahl der Messwerte — also mit 5:

2 + 2 + x₃ + 3 + 4 = 16

Diese Gleichung musst du dann noch nach x₃ umstellen und den fehlenden Wert ausrechnen:

x₃ = 5

Der fehlende Beobachtungswert ist also 5.

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Manchmal kommen bestimmte Zahlen in einer Datenreihe häufiger vor als andere. Diese Zahlen haben dann mehr Einfluss auf das Ergebnis.

Das kommt zum Beispiel bei Notenverteilungen in einer Klasse vor: Wenn 5 Schüler die Note 1 haben, 10 Schüler die Note 2 und 5 Schüler die Note 3 haben, beeinflusst die häufigere Note 2 den Durchschnitt stärker.

Um das zu berücksichtigen, benutzt du das gewichtete arithmetische Mittel. Bei dem gewichtest du nämlich die einzelnen Werte mit ihrer Häufigkeit. Dabei unterscheidest du zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit. Stell dir vor, du zählst, wie oft jede Zahl vorkommt:

Absolute Häufigkeit bedeutet, wie oft eine Zahl gezählt wurde.
Beispiel: In der Klasse haben 5 Schüler die Note 1. Hier ist die absolute Häufigkeit der Note 1 also 5.
Relative Häufigkeit zeigt, wie oft eine Zahl im Vergleich zur Gesamtzahl vorkommt.
Beispiel: In der Klasse gibt es 20 Schüler. Die relative Häufigkeit der Note 1 ist dann $\frac{5}{20} = 0,25$ (oder 25 %).

Absolute Häufigkeit — Beispiel

Wenn die Messwerte in ihrer absoluten Häufigkeit angegeben sind, berechnest du das arithmetische Mittel mit dieser Formel:

$\bar{x} = \frac{1}{\textcolor{green}{n}} \sum\limits_{i=1}^{\textcolor{green}n} \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{red}{H(x_i)} = \frac{\textcolor{blue}{x_1} \cdot \textcolor{red}{H(x_1)} + \textcolor{blue}{x_2} \cdot \textcolor{red}{H(x_2)} + \textcolor{blue}{x_3} \cdot \textcolor{red}{H(x_3)} + \dots + \textcolor{blue}{x_n} \cdot \textcolor{red}{H(x_n)}}{\textcolor{green}{n}}$

H (x_i) ist dabei die absolute Häufigkeit deiner Messwerte. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: 50 Studierende haben eine Statistik-Klausur geschrieben. Die Noten (x_i) und ihre absoluten Häufigkeiten (H_i) sind in der folgenden Tabelle zu sehen:

*x_i*	1	2	3	4	5
*H(x_i)*	2	9	11	16	12

Das gewichtete arithmetische Mittel mit der absoluten Häufigkeit berechnest du so:

Messwerte mit absoluter Häufigkeit multiplizieren: Zuerst multiplizierst du die einzelnen Noten mit der Häufigkeit, in der sie vorkommen:

1 • 2 = 2
2 • 9 = 18
3 • 11 = 33
4 • 16 = 64
5 • 12 = 60
Addiere die Ergebnisse: Jetzt zählst du die gewichteten Messwerte zusammen:
→ 2 + 18 + 33 + 64 + 60 = 177
Dividiere durch die Anzahl der Messwerte: Nun teilst du die Summe der gewichteten Messwerte durch die Anzahl der Messwerte:
→ $\frac{177}{\textcolor{green}{50}} = 3,54$

Die 50 Studierenden haben also eine Durchschnittsnote von 3,54:

$\bar{x} = \frac{\textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{2} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{9} + \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{11} + \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{16} + \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{12}}{\textcolor{green}{50}} = \frac{177}{\textcolor{green}{50}} = 3,54$

Relative Häufigkeit — Beispiel

Sind deine Messwerte in relativer Häufigkeit angegeben, sieht die Formel für das arithmetische Mittel so aus:

$\bar{x} = \sum\limits_{i=1}^{n} \textcolor{blue}{x_i} \cdot \textcolor{orange}{h(x_i)}= \textcolor{blue}{x_1} \cdot \textcolor{orange}{h(x_1)} + \textcolor{blue}{x_2} \cdot \textcolor{orange}{h(x_2)} + \textcolor{blue}{x_3} \cdot \textcolor{orange}{h(x_3)} + \dots + \textcolor{blue}{x_n} \cdot \textcolor{orange}{h(x_n)}$

h(xi) ist dabei die relative Häufigkeit deiner Messwerte. Hier siehst du das Beispiel von oben, wenn die Notenverteilung der Statistikklausur in relativer Häufigkeit angegeben wird:

*x_i*	1	2	3	4	5
h(x_i)	*0,04*	*0,18*	*0,22*	*0,32*	*0,24*

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, gehst du so vor:

Messwerte mit relativer Häufigkeit multiplizieren: Zuerst multiplizierst du die einzelnen Noten mit ihrer relativen Häufigkeit.

1 • 0,04 = 0,04
2 • 0,18 = 0,36
3 • 0,22 = 0,66
4 • 0,32 = 1,28
5 • 0,24 = 1,2
Addiere die Ergebnisse: Anschließend zählst du die gewichteten Noten zusammen:
→ 0,04 + 0,36 + 0,66 + 1,28 + 1,2 = 3,54

Die Durchschnittsnote der 50 Studierenden beträgt also 3,54:

$\bar{x} = \textcolor{blue}{1}\cdot \textcolor{orange}{0,04} + \textcolor{blue}{2}\cdot \textcolor{orange}{0,18} + \textcolor{blue}{3}\cdot \textcolor{orange}{0,22} + \textcolor{blue}{4}\cdot \textcolor{orange}{0,32} + \textcolor{blue}{5}\cdot \textcolor{orange}{0,24} = 3,54$

Übrigens: Wenn du das arithmetische Mittel mit der relativen Häufigkeit berechnest, musst du nicht mehr durch die Anzahl teilen. Das liegt daran, dass die relative Häufigkeit bereits die Gewichtung der einzelnen Werte berücksichtigt.

Arithmetisches Mittel — häufigste Fragen

Was ist das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel, oder Durchschnitt, ist eine der häufigsten Methoden zur Berechnung von Mittelwerten. Du ermittelst es, indem du alle Werte einer Datenreihe addierst und die Summe durch die Gesamtzahl n der Werte teilst.
Wie berechnest du das arithmetische Mittel?

Das arithmetische Mittel berechnest du, indem du alle Werte einer Datenreihe addierst und die Summe durch die Anzahl n der Werte teilst. Die Werte bezeichnest du mit x₁, x₂ bis xₙ, das arithmetische Mittel mit x̄.
Was ist die Formel für den Mittelwert von zwei Zahlen?

Das arithmetische Mittel von zwei Zahlen a und b ist die Zahl m, die genau in der Mitte zwischen a und b liegt. Du kannst es so ausdrücken: m – a = b – m. Das bedeutet, dass der Mittelwert m gleich weit von a und b entfernt ist.