Statistik Wahrscheinlichkeit

Chi-Quadrat-Verteilung

Hast du noch Fragen zur Chi-Quadrat-Verteilung? In diesem Video werden die Wichtigsten geklärt.

Schätzung von Verteilungsparametern

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die für alle positiven, reellen Zahlen definiert ist.

Chi-Quadrat-Verteilung
Verwendung der Chi-Quadrat-Verteilung

Sie findet in der Realität selten Anwendung und wird hauptsächlich für die Schätzung von Verteilungsparametern, wie zum Beispiel der Varianz, und bei Hypothesentests angewendet.

Darstellung und Freiheitsgrade

Wir stellen sie wie folgt dar:

\chi^2\sim\chi^2\left(n\right)

N ist unser einziger Parameter und steht für die Anzahl der Freiheitsgrade. Moment, um was handelt es sich dabei nun schon wieder?

Freiheitsgrade sind die Werte, die frei verändert werden können, ohne dass dein betrachteter Parameter verändert wird. Die Anzahl der Freiheitgrade steigt allgemein mit zunehmender Stichprobengröße und sinkt mit der Anzahl der geschätzten Parameter.

Freiheitsgrade – Beispiel

Deutlicher wird das Ganze, wenn wir uns ein Beispiel dazu überlegen: Sehen wir uns dazu drei beliebige Noten – z.B. 1,7 ; 1,3 und 3,0 – eines Studenten an und berechnen deren Mittelwert.

Chi-Quadrat-Verteilung
Berechnung des Mittelwerts der Noten

Wir erhalten ein arithmetisches Mittel von 2,0.

Wählen wir nun erneut zwei Noten aus, beispielsweise 2,7 und 2,3. In diesem Fall müsste unsere dritte Note eine 1,0 sein, damit wir erneut auf einen Notendurchschnitt von 2,0 kommen. Wir konnten hier folglich zwei Werte frei wählen, während der dritte Wert 1,0 annehmen musste. Allgemein kann man also sagen, dass die Anzahl der Freiheitsgrade n – 1  beträgt, wenn n die Anzahl unserer Messwerte ist.

Chi-Quadrat-Verteilung
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist n-1

Chi-Quadrat-Verteilung Formel

Okay, das wars erstmal zu den Freiheitsgraden, jetzt stellen wir noch den Bezug zur Chi-Quadrat-Verteilung her.

Chi-Quadrat-Verteilung
Bezug zur Standardnormalverteilung

Diese kann aus der Normalverteilung abgeleitet werden. Haben wir also n Zufallsvariablen \left(X_i\right), die unabhängig und standardnormalverteilt sind, \left(X_1,\ldots,X_n~N\left(0;1\right)\right) dann ergibt sich eine Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden aus der Summe der quadrierten Zufallsvariablen.

\chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2

Die genaue Formel der Verteilung ist ziemlich kompliziert und geht über die Anforderungen der meisten Statistikveranstaltungen hinaus. Zur Berechnung verwendest du ganz einfach wieder eine Verteilungstabelle.

Approximation mittels der Standardnormalverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit zehn Freiheitsgraden und einem \alpha von 0,9 können wir also ganz einfach in der Tabelle ablesen:

\chi_{0,9}^2\left(10\right)=15,9872

Wir erhalten einen Wert von 15,987.

Chi-Quadrat-Verteilung
Ablesen des Werts in der Verteilungstabelle

Ab einem n größer 30 kannst du die Chi-Quadrat-Verteilung mittels der Standardnormalverteilung durch folgende Formel approximieren:

\chi_\alpha^2=\frac{1}{2}{*\left(z_\alpha+\sqrt{2n-1}\right)}^2

Wobei z_\alpha das entsprechende \alpha-Quantil der Standardnormalverteilung ist.

Haben wir also 50 Freiheitsgrade und erneut das 0,9 \alpha-Quantil, dann können wir die Chi-Quadrat-Verteilung approximieren:

Chi-Quadrat-Verteilung
Approximation der Chi-Quadrat-Verteilung

Zuerst suchen wir uns den Wert des \alpha-Quantils in der Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung.  Er beträgt 1,28.

Jetzt setzen wir dieses Zwischenergebnis und unser n in die Formel ein und erhalten:

\chi_\alpha^2=\frac{1}{2}{*\left(1,28+\sqrt{2*50-1}\right)}^2= 63,06

Easy! Wir haben ein approximatives Ergebnis von 63,06.

Damit sollten wir nun alle Fragen geklärt haben! Viel Spaß beim nächsten Thema!

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