Statistik Wahrscheinlichkeit

Exponentialverteilung

Die Exponentialfunktion kennst du schon aus der Schule, aber was genau ist die Exponentialverteilung? In diesem Video erklären wir es dir.

Berechnung der Dauer zufälliger Zeitintervalle

Mit der Exponentialverteilung kannst du die Dauer zufälliger Zeitintervalle berechnen, zum Beispiel die Länge eines Telefongesprächs, den radioaktiven Zerfall von Atomen oder die Lebensdauer deines Handys.

Exponentialverteilung
Beispiele für die Dauer zufälliger Zeitintervalle

Sie ist die stetige Version der geometrischen Verteilung. Beide sind exponentiell fallende Funktionen.

Dichte- und Verteilungsfunktion

Hierbei ist klar, dass die Verteilung nur für alle positiven reellen Zahlen definiert ist, schließlich sind negative Zeiten nicht möglich.

Exponentialverteilung
Abkürzung und Dichte- und Verteilungsfunktion

In der Statistik wird die Exponentialverteilung so abgekürzt:

Exp\left(\lambda\right)

Du siehst, \lambda ist unser einziger Parameter. Deshalb sind die Dichte- und Verteilungsfunktion auch ziemlich leicht zu berechnen.

Diese sehen wie folgt aus:

Dichtefunktion: f_\lambda\left(x\right)\left\{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq0\\0,&x<0\\\end{matrix}\right

Verteilungsfunktion: F\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}1-e^{\left(-\lambda x\right)}&x\geq0\\0,&x<0\\\end{matrix}\right

Wichtige Maße

Zusätzlich listen wir dir hier noch die wichtigsten Maße auf:

Exponentialverteilung
Wichtigste Maße der Verteilung

Aus dem Erwartungswert geht hervor, dass ein großes Lamda ein kleines durchschnittliches Zeitintervall zur Folge hat und aus dem Modus, dass die Dichtefunktion ihr Maximum bei null hat. Das macht auch Sinn, denn am Beginn der Zeitmessung ist die Wahrscheinlichkeit, dass beispielsweise dein Handy noch funktioniert, am höchsten.

Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

Eine wichtige Eigenschaft der Exponentialverteilung ist ihre Gedächtnislosigkeit. Um bei einer gedächtnislosen Verteilung zum Beispiel die restliche Lebensdauer deines Handys zu berechnen, muss man nicht wissen, wie lange das Gerät schon im Einsatz ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass es nach 3 Jahren die nächste Zeiteinheit überlebt ist genauso hoch, wie zu Beginn der Benutzung. Die Exponentialverteilung merkt sich also das Alter nicht, es ist für unsere Berechnungen irrelevant. Deshalb ist die Exponentialverteilung auch nicht für die Lebenserwartung von Lebewesen anwendbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 80-jähriger weitere 50 Jahre lebt, ist viel geringer als bei einem Neugeborenen.

Exponentialverteilung
Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

Exponentialverteilung – Beispiel

Alles klar, dann berechnen wir doch mal die restliche Lebenszeit des Handys. Vom Hersteller wissen wir, dass die Lebensdauer mit

\lambda=\ 0,001

exponentialverteilt ist.

Exponentialverteilung
Berechnung der restlichen Lebenszeit eines Handys

\lambda ist hier die Ausfallrate. Pro Tag geben also 0,1 Prozent der Handys ihren Geist auf. Das bedeutet, dass durchschnittlich alle 1000 Tage nach der Inbetriebnahme ein Gerät ausfällt.

E\left(x\right)=\frac{1}{0,001}=1000

Da du dieses Jahr eine große Reise planst und dir zusätzlich kein neues Handy leisten könntest, möchtest du jetzt gerne wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass dein Gerät noch ein weiteres Jahr funktioniert.

Wir nehmen also die Verteilungsfunktion und setzen unsere Werte ein:

1-e^{\left(-0,001 * 365\right)}=\ 0.306

Wir sehen, nach 365 Tagen sind 30,6 Prozent der Handys ausgefallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass deines noch funktioniert ist also bei fast 70 Prozent. Sehr gut! Deiner Reise steht quasi nichts mehr im Wege.

Zusammenfassung und wichtigste Formeln

Zum Abschluss zeigen wir dir hier nochmal alle wichtigen Formeln. Wenn du diese beherrschst wird auch deine Statistikklausur wie Urlaub.

Exponentialverteilung
Die wichtigsten Formeln

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