Statistik Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Du möchtest wissen, was genau es bedeutet, wenn einem Zufallsexperiment die Laplace-Wahrscheinlichkeit zugrunde liegt? Dann bleib dran!

Gleiche Wahrscheinlichkeit aller elementaren Ergebnisse

In der Statistik unterscheidet man verschiedene Spezialfälle von Wahrscheinlichkeiten. Einer dieser Sonderfälle ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Diese setzt voraus, dass alle elementaren Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von sogenannten Laplace-Experimenten, also Zufallsexperimenten, bei denen jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist.

Elementarereignis

Wenn du also die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bestimmen sollst, prüfe zunächst ob es sich bei dem Zufallsexperiment überhaupt um einen Laplace-Versuch handelt oder nicht. Hier spricht man auch vom sogenannten Elementarereignis ω, also einem Ereignis, für das die Eintrittswahrscheinlichkeit immer gleich hoch ist. Es gilt:

P(\omega)=\frac{1}{\left|\Omega\right|}

\left|\Omega\right| ist die Menge aller möglichen Ereignisse, die eintreten können. Ein Zufallsexperiment umfasst also genau so viele Elementarereignisse und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten beträgt 1.

Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ein klassisches Beispiel für ein Laplace-Experiment ist das Werfen einer Münze, sofern diese ungezinkt ist natürlich. Die Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen beträgt dann nämlich jeweils genau 50%.

Allgemein ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A wie folgt definiert:

Laplace Wahrscheinlichkeit
Definition Laplace-Wahrscheinlichkeit

Dabei bezeichnet \left|A\right| die Anzahl der Elemente des Ereignisses A, und \left|\Omega\right| die Ergebnismenge.

Durchführung eines Laplace-Experiments

Abschließend schauen wir uns noch ein praktisches Beispiel eines Laplace-Experiments an. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit einem sechsseitigen Laplace-Würfel die Zahl 3 zu würfeln. Da der Würfel nur eine Seite mit der Augenzahl 3 hat gilt \left|A\right|=1. Da der Würfel insgesamt 6 Seiten hat, enthält die Ergebnismenge sechs Elemente – es gilt also \left|\Omega\right|=6. Wenn wir das nun in unsere Formel einsetzen erhalten wir folgendes:

Laplace Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit die Augenzahl 3 zu würfeln

Etwas komplizierter wird es, wenn wir statt einem Laplace-Würfel ein Roulette-Spiel betrachten. Da auch hier jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, handelt es sich wieder um ein Laplace-Experiment. Diesmal sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, eine rote Zahl zu erhalten. Dazu musst du wissen, dass es beim Roulettespiel insgesamt 37 mögliche Ergebnisse gibt. Davon sind 18 Zahlen schwarz, 18 rot und die Zahl 0 ist farblos. Es gilt also \left|A\right|=18 und \left|\Omega\right|=37.

Laplace Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit eine rote Zahl zu erhalten

Die Wahrscheinlichkeit eine rote Zahl zu würfeln liegt also bei ungefähr 49%.

Das war auch schon alles Wichtige zur Laplace Wahrscheinlichkeit! Zur Wiederholung hier nochmal die zentrale Formel:

Laplace Wahrscheinlichkeit
Zentrale Formel zur Laplace Wahrscheinlichkeit

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