Statistik Wahrscheinlichkeit

Stetige Gleichverteilung

Inhaltsübersicht

Was die stetige Gleichverteilung ist und welche Formeln du dazu kennen musst erklären wir dir in diesem Video.

Verteilung mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte

Die stetige Gleichverteilung ist eine Verteilung, die auf einem Intervall eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte hat. Jeder denkbarer reeller Wert der Zufallsvariable ist in einem vorgegebenen Intervall gleich wahrscheinlich.

Stetige Gleichverteilung – Beispiel

Das erscheint dir noch nicht ganz verständlich?

Dann stell dir das Ganze mit einem Beispiel vor. Nehmen wir an, es ist Samstagnacht und du bist auf dem Weg vom Club nach Hause.

Hier ist die Wartezeit die stetige Gleichverteilung

Du weißt, dass die S-Bahn nachts nur noch stündlich fährt, aber hast die genauen Abfahrtszeiten vergessen. Läufst du also auf gut Glück zur Station ist deine Wartezeit eine stetige Gleichverteilung zwischen a gleich null und b gleich sechzig. Denn zwischen null und sechzig Minuten kannst du jede erdenkliche Zeit warten, zum Beispiel auch 5,2343 Minuten. Ist doch logisch, oder?

Wichtige Formeln

So, kommen wir nun zum mathematischen Teil: Für die Gleichverteilung musst du einige Formeln kennen:

Ihre Kurzschreibweise sieht so aus:

X\sim\ G\left(0;60\right)

bzw. allgemein X\sim\ G (a;b)

Die Dichtefunktion der Gleichverteilung stellst du wie folgt dar:

Dichtefunktion Formel und Graph

Und die zugehörige Verteilungsfunktion so:

Verteilungsfunktion Formel und Graph

Erwartungswert und Varianz der Gleichverteilung

Super! Jetzt kennst du die zwei wichtigsten Formeln der Gleichverteilung. Du kannst zusätzlich noch den Erwartungswert und die Varianz der Gleichverteilung mit diesen Formeln ausrechnen:

E(X)\ =\ \frac{a\ +\ b}{2}

Var(X)\ =\ \frac{{(b-a)}^2}{12}

Keine Sorge, wir ersparen dir hier die mathematische Herleitung. Am besten du lernst diese Formeln auswendig oder schreibst sie auf dein Formelblatt.

Denn dann sollte dir auch folgendes Beispiel kein Problem mehr bereiten:

Berechnung anhand des Beispiels

Greifen wir unsere Überlegung von oben wieder auf. Du bist gerade tot müde auf dem Weg zur S-Bahnstation. Da du so schnell wie möglich nach Hause in dein Bett möchtest und genau weißt, dass du bei einer Wartezeit von mehr als 15 Minuten am Bahnsteig einschlafen wirst, rechnest du aus, wie wahrscheinlich es ist, dass du weniger als 15 Minuten warten musst.

Dazu benutzt du die Formel der Verteilungsfunktion und setzen unsere Werte ein.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit, dass du höchstens 15 Minuten warten musst, beträgt also 25 Prozent. Schade, du verbringst die Nacht also voraussichtlich am Bahnsteig.

Aber Spaß bei Seite! Du kannst jetzt gerne noch den Erwartungswert und die Varianz selbst berechnen. Die Lösungen geben wir dir vor:

E(X)\ =30

Var(X)\ =\ 300

Das wars auch schon zur Gleichverteilung! Du weißt jetzt, wie man sie berechnet und dass du den Club nächstes Mal früher verlassen solltest. Damit steht dem Bestehen der Statistikklausur nichts mehr im Wege. ­­


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