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Übertragungsfunktion

In diesem Artikel möchten wir dir die Grundlagen zur Übertragungsfunktion näherbringen. Wir zeigen dir ihre Bedeutung, die verschiedenen Darstellungsformen und wie du die Übertragungsfunktion aus einer Differenzialgleichung beziehungsweise aus einer elektrischen Schaltung erstellst.

Wenn du keine Lust hast so viel zu lesen, dann solltest du dir auf jeden Fall unser Video anschauen!

Inhaltsübersicht

Übertragungsfunktion Definition

Die Übertragungsfunktion beschreibt in der Regelungstechnik das Verhältnis vom Ausgangssignal zum Eingangssignal eines dynamischen Systems. Sie wird mit G(s) abgekürzt und im Bildbereich angegeben.

Merke

In der Praxis kannst du die Übertragungsfunktion ermitteln, indem ein System mit einem bekannten Eingangssignal beaufschlagt wird und gleichzeitig das Ausgangssignal aufgezeichnet wird.

Zum Beispiel können alle gängigen Übertragungsglieder aus der Regelungstechnik mit einer Übertragungsfunktion beschrieben werden.

Übertragungsfunktion aus Differenzialgleichung

Eine weitere Methode die Übertragungsfunktion eines Systems zu ermitteln ist, sie aus der Differenzialgleichung des Systems aufzustellen. Dafür wird die Differenzialgleichung aus dem Zeitbereich mittels Laplacetransformation in den Bildbereich transformiert und anschließend das Verhältnis zwischen Ausgangs– und Eingangssignal gebildet. Dies wird weiter unten in diesem Artikel anhand eines Beispiels durchgeführt.

Darstellungsformen der Übertragungsfunktion

Grundsätzlich handelt es sich bei Übertragungsfunktionen in der Regelungstechnik um gebrochen-rationale Funktionen der Form:

$G(s)=\frac{Zählerpolynom(s)}{Nennerpolynom(s)}$

Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten der Darstellung.

Pol-Nullstellendarstellung

Für die Pol-Nullstellendarstellung wird das Zähler- und Nennerpolynom linearfaktorzerlegt. Das bedeutet es werden die Nullstellen des jeweiligen Polynoms gefunden und das Polynom auf diese Weise umgeschrieben.

$G(s)=K\cdot\frac{\left(s-s_{N1}\right)\cdot\left(s-s_{N2}\right)\ldots\cdot(s-s_{Nn})}{\left(s-s_{P1}\right)\cdot\left(s-s_{P2}\right)\ldots\cdot(s-s_{Pn})}$

Diese Darstellung kann beispielsweise dafür genutzt werden, um die Reglerparameter eines Reglers so zu bestimmen, dass seine Nullstellen die Polstellen der Regelstrecke aufheben und damit die Gesamtübertragungsfunktion vereinfachen.

Pol-Nullstellenform Übertragungsfunktion Pol-Nullstellenplan — Pol-Nullstellenform

Außerdem ist diese Form hilfreich, um den Pol-Nullstellenplan eines Systems aufzustellen und damit Aussagen über ihr Stabilitäts -und Schwingungsverhalten zu treffen.

Zeitkonstantendarstellung

Die Zeitkonstantendarstellung ist eine sehr häufig gewählte Darstellungsform, da die Zeitkonstanten eines Systems messtechnisch, beispielsweise durch die Impuls– oder Sprungantwort, ermittelt werden können.

Die Übertragungsfunktion wird dafür in folgende Form gebracht:

$G(s)=K_Z\cdot\frac{\left(T_{Z1}s+1\right)\cdot\left(T_{Z2}s+1\right)\ldots\cdot\left(T_{Zn}s+1\right)}{\left(T_{N1}s+1\right)\cdot\left(T_{N2}s+1\right)\ldots\cdot\left(T_{Nn}s+1\right)}$

Die Zeitkonstantendarstellung kann beispielsweise zur schnellen Erstellung des Bodediagramms genutzt werden.

Partialbruchdarstellung

$G(s)=\frac{A_1}{s-s_{P1}}+\frac{A_2}{s-s_{P2}}...+\frac{A_n}{s-s_{Pn}}$

Durch Partialbruchzerlegung kann die Übertragungsfunktion in die Partialbruchdarstellung umgewandelt werden. Die Pol-Nullstellendarstellung eignet sich dabei gut als Startpunkt, da hier bereits die Polstellen bestimmt wurden.

Die Partialbruchdarstellung eignet sich besonders gut zur Rücktransformation in den Zeitbereich, da jeder Partialbruch einzeln rücktransformiert und anschließend summiert werden kann. Außerdem lässt sich die Laplacetransformierte eines Partialbruches im Gegensatz zur gesamten Übertragungsfunktion häufig aus einer Korrespondenztabelle für die Laplacetransformation entnehmen.

Aufstellen der Übertragungsfunktion aus einer Differenzialgleichung

Gegeben sei die Differenzialgleichung eines PT1-Systems mit dem Eingang x_e und dem Ausgang x_a :

$x_a(t)+T\cdot\frac{{dx}_a}{dt}=\ K\cdot x_e(t)$

Um daraus die Übertragungsfunktion des Systems zu erhalten wird die Differenzialgleichung zunächst laplacetransformiert.

$X_a(s)+T\cdot X_a(s)\cdot s\ =\ K\cdot X_e(s)$

Nun wird die Gleichung so umgestellt, dass sich auf einer Seite der Gleichung das Verhältnis von Ausgang zu Eingang ergibt. Dazu wird zunächst X_a(s) ausgeklammert:

$X_a(s)\cdot(1+T\cdot s)\ =\ K\cdot X_e(s)$

Und anschließend das Verhältnis $\frac{X_a(s)}{X_e(s)}$ gebildet:

$\frac{X_a(s)}{X_e(s)}=\frac{K}{T\cdot s+1}$

Die Übertragungsfunktion G(s) eines PT1-Systems lautet also:

$G(s)=\frac{X_a(s)}{X_e(s)}=\frac{K}{T\cdot s+1}$

Beispiel Übertragungsfunktion Differentialgleichung Differenzialgleichung Laplacetransformation — Beispiel Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion eines Tiefpass-Filters

Gegeben sei ein RC-Tiefpassfilter:

RC-Tiefpassfilter Übertragungsfunktion — RC-Tiefpassfilter

Aus der Abbildung kann entnommen werden, dass es sich bei U_e um den Eingang und bei U_a um den Ausgang handelt. Die Übertragungsfunktion lässt sich für diese Anordnung auf zwei verschiedenen Wegen aufstellen. Zum einen kann man die Differenzialgleichung bestimmen und diese dann in den Bildbereich transformieren. Zum anderen kann mit Hilfe der komplexen Impedanzen der Zusammenhang von U_e und U_a bestimmt werden. Hier wurde der zweite Ansatz gewählt

Der Zusammenhang von U_e und U_a ergibt sich über den Spannungsteiler:

$U_a=\ U_e\cdot\frac{{-jX}_C}{R+{-jX}_C}$

Mit $X_C=\frac{1}{\omega C}$ ergibt sich:

$U_a=\ U_e\cdot\frac{-j\cdot\frac{1}{\omega C}}{R-j\cdot\frac{1}{\omega C}}$

Nun wird das Verhältnis $\frac{U_a}{U_e}$ gebildet und der Bruch mit $j\omega C$ erweitert:

$\frac{U_a}{U_e}=\ \frac{1}{1+j\omega CR}$

Die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses lautet also:

$G(j\omega)=\frac{U_a}{U_e}=\ \frac{1}{1+j\omega CR}$

Beziehungsweise mit $j\omega=s$

$G(s)=\frac{U_a}{U_e}=\ \frac{1}{1+sCR}$

Der Vergleich zur allgemeinen Übertragungsfunktion eines PT1 Systems zeigt, dass der Proportionalitätsfaktor K des Tiefpasses gleich 1 und seine Zeitkonstante T gleich $C\cdot R$ ist.

$G_{PT1}(s)=\frac{K}{T\cdot s+1}$ und $G(s)=\frac{1}{1+sCR}$

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