Wahrscheinlichkeitsrechnung

Absolute und relative Häufigkeit

In diesem Artikel geht es um das Thema relative und absolute Häufigkeit. Die absolute Häufigkeit, sowie die relative Häufigkeit werden wir anhand eines Beispiels berechnen. Weiterhin wir dir für das Begriffspaar absolute Häufigkeit relative Häufigkeit eine Definition gegeben und diese anschließend erklärt.

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Inhaltsübersicht

Absolute und relative Häufigkeit einfach erklärt

Die Absolute Häufigkeit ist identisch zum Begriff Anzahl. Ein Beispiel: Du spielst Basketball und triffst von 10 Würfen genau 2 Stück. Die absolute Häufigkeit einen Treffer zu landen ist damit 2.

Die relative Häufigkeit kannst du errechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Anzahl aller Versuche teilst. Diese kannst du also wie folgt berechnen: \frac{2}{10}=0,2. Die relative Häufigkeit, dass du einen Treffer landest, liegt also bei 20%.

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Absolute und relative Häufigkeit Formel

Absolute Häufigkeit Definition

Was ist die absolute Häufigkeit? Die absolute Häufigkeit misst die Häufigkeit des Auftretens eines bestimmten Elementarereignisses in einer Grundgesamtheit. Daher kann die absolute Häufigkeit auch umgangssprachlich als Ergebnis einer Zählung interpretiert werden. Die absolute Häufigkeit kann per Definition nur Ausprägungen annehmen, die im Bereich der natürlichen Zahlen sind (einschließlich der 0). Dies liegt augenscheinlich in der Natur einer Zählung. Generell unterscheidet man innerhalb der deskriptiven Statistik zwischen der absoluten Häufigkeit und der relativen Häufigkeit.

Absolute Häufigkeit berechnen

Nun stellt sich die Frage: Wie berechnet man die absolute Häufigkeit? Am besten versteht man die absolute Häufigkeit anhand eines Beispiels.

Absolute Häufigkeit Beispiel:

Ein klassisches Beispiel, um absolute Häufigkeit zu erklären ist das mehrmalige Werfen eines Würfels. Wenn der Würfel beispielsweise 100-mal geworfen wird und 22-mal das Ergebnis 6 herauskommt, folgt daraus, dass die absolute Wahrscheinlichkeit für das Merkmal 6 die 22 ist.

Absolute Häufigkeit Formel

Um die absolute Häufigkeit zu bestimmen, kann folgende Formel verwendet werden. Bei einem Versuch mit n Versuchen ist die Anzahl H (oft wird die absolute Häufigkeit mit H beschrieben) mit der ein Merkmal A in einer Stichprobe erscheint, als absolute Häufigkeit von Merkmal A definiert.

Häufige Schreibweise: H_n(A)

Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit bezeichnet den Anteil der absoluten Häufigkeit (Anzahl) eines Merkmals an der Grundgesamtheit einer Stichprobe. Über den Bezug zur Größe der Stichprobe werden Häufigkeiten damit vergleichbar.

Relative Häufigkeit Definition

Was ist die relative Häufigkeit? Die relative Häufigkeit ist definiert als Anteil des Merkmals an der zugrundeliegenden Menge. Daher kann die relative Häufigkeit nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Relative Häufigkeiten fungieren als wichtiger Baustein in der deskriptiven Statistik, um Verteilungen von Häufigkeiten unabhängig von n also der Größe der Stichprobe (Grundgesamtheit) darzustellen. Damit leistet die relative Häufigkeit einen wichtigen Beitrag zum Vergleich zweier verschieden großer Grundgesamtheiten.

Relative Häufigkeit berechnen

Äquivalent zu oben stellt sich nun die Frage: Wie berechnet man die relative Häufigkeit? Das Beispiel mit dem Würfel ist hier wieder sehr hilfreich, um die relative Häufigkeit zu verstehen.

Relative Häufigkeit Beispiel:

Bei 100 Würfen mit einem Würfel ergibt sich wieder 22-mal das Ergebnis 6. Die absolute Häufigkeit beträgt also wiederH_1_0_0(6) = 22. Um jetzt die relative Häufigkeit zu erhalten wird die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Male, die der Würfel geworfen wurde, geteilt. In diesem Beispiel beträgt die relative Häufigkeit eine 6 zu würfeln dementsprechend: h_1_0_0(6) = \frac{22}{100}=0,22.

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Absolute und relative Häufigkeit Beispiel

Relative Häufigkeit Formel

Die Relative Häufigkeit berechnet sich folglich mit folgender Formel:

h_n(A) = \frac{H_n(A)}{n}

Mit ihr lässt sich die relative Häufigkeit h der Ausprägung A bei n Versuchen bestimmen. Dazu teilt man die absolute Häufigkeit H der Ausprägung A im Zufallsexperiment durch die der Stichprobe zugrundeliegende Menge n (Anzahl der Versuche).

Absolute und relative Häufigkeit: Häufigkeitstabelle

Eine beliebte Variante, um Häufigkeiten übersichtlich darzustellen ist eine Häufigkeitstabelle. In unserem Beispiel mit dem Würfel könnte eine diese so aussehen:

Ausprägung des Würfels A 1 2 3 4 5 6
H100 12 15 14 18 19 22
h100 0,12 0,15 0,14 0,18 0,19 0,22
K100 0,12 0,27 0,41 0,59 0,78 1

Dabei steht H für die absolute Häufigkeitsverteilung, h für die relative Häufigkeitsverteilung und die Größe der Grundgesamtheit n beträgt 100. Die kumulierte relative Häufigkeit K errechnet sich durch das aufaddieren der relativen Wahrscheinlichkeiten und muss, sobald alle Merkmale verrechnet sind, immer 1 ergeben.

Wichtig ist das eine Häufigkeitstabelle nicht strikt normiert ist so können zum Beispiel je nach Bedarf die kumulierten Häufigkeiten, oft auch als Summenhäufigkeiten bezeichnet, weggelassen werden.

Variante Häufigkeitstabelle: Kontingenztabelle

Eine besondere Variante von Häufigkeitstabellen sind Kontingenztabellen (auch Kreuztabellen genannt). Die Besonderheit von Kontingenztabellen ist, dass man mit ihrer Hilfe in der Lage ist das gemeinsame Auftreten mehrerer Merkmale zu erfassen.

Variante Häufigkeitstabelle: Vierfeldertafel

Oft ist auch von der Vierfeldertafel%Vierfeldertafel als Spezialfall von Häufigkeitstabellen und Kontingenztabellen die Rede. Vielleicht kennst du diese Variante noch aus der Schule. Grundsätzlich gilt, die Vierfeldertafel ist eine auf 2×2 normierte Kontingenztabelle.

Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit

Laut dem Gesetz der großen Zahlen%Verweise einfügen nähern sich relative Häufigkeit und die echte Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei ausreichend vielen Versuchen immer weiter an, bis sie schlussendlich deckungsgleich sind.

Bei einem klassischem, sechsseitigem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl \frac{1}{6}\approx 0,17. Beim Vergleich mit der oben stehenden Häufigkeitstabelle mit 100 Versuchen wird ersichtlich das diese Wahrscheinlichkeiten bei keiner Ziffer erreicht wird. Bei der Durchführung von weiteren Versuchen werden sich die relativen Häufigkeiten immer weiter der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6} annähern.


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