Mikroökonomie

Arbeitsangebot des Individuums

Du hast Dich schon immer gefragt wie du mit minimalem Aufwand den maximalen Nutzen erreichen kannst? In nur sieben Minuten zeigen wir dir in diesem Beitrag wie das geht.

Berechnen der optimalen Arbeits-, Freizeit- und Konsumnachfrage

In diesem Beitrag schauen wir uns also an wie du Deine Arbeits-, Freizeit- und Konsumnachfrage so errechnest, dass Du daraus den größten Nutzen ziehen kannst. Ziel ist es also diese drei Nachfragen zu optimieren.

Artbeit, Konsum, Freizeit
Faktoren für das Arbeitsangebot

Die Arbeit wird dabei allgemein durch L, der Konsum durch x und die Freizeit durch F dargestellt.

Reservationslohn berechnen

Der Reservationslohn ist der Lohn, zu dem ein Haushalt gerade noch bereit ist, seine Arbeitskraft anzubieten. Um diesen berechnen zu können benötigen wir eine Nutzenfunktion. Nehmen wir an es ist dazu folgende Funktion gegeben:

U^{Du}\left(x^{Du},F^{Du}\right)=\ \left(x^{Du}\right)^\frac{1}{3}\ast\ \left(F^{Du}\right)^\frac{1}{3}

Damit können wir jetzt schon den Nutzenmaximierungssatz aufstellen:

\max\below{x^{Du},F^{Du}}{U^{Du}\left(x^{Du},F^{Du}\right)=\ \left(x^{Du}\right)^\frac{1}{3}\ast\ \left(F^{Du}\right)^\frac{1}{3}\ \ \ \ \ \ \ }

Festlegen der Nebenbedingungen 

Zusätzlich zu dieser Nutzenfunktion haben wir noch zwei Bedingungen gegeben. Zum einen hast du am Tag nur 16 Stunden zur Verfügung, in denen du arbeitest oder Freizeit hast. Formulierst du diese Nebenbedingung als Gleichung, sieht sie so aus:

Freizeit, Arbeitszeit
Nebenbediungung 1

Das Buget px als zweite Nebenbedingung

Weiterhin haben wir noch eine zweite Nebenbedingung gegeben. Diese besagt, dass deine Konsumausgaben p x Du gleich deinen Verdiensten sind. Die Verdienste setzen sich aus deinem Lohnsatz W mal den Arbeitsstunden L und einer Gewinnbeteiligung Theta Du mal pi zusammen. Denn wir gehen davon aus, dass du neben dem Lohn auch noch am Gewinn des Unternehmens, in dem du arbeitest, beteiligt bist. Die Nebenbedingung sieht also so aus:

px^{Du}=wL^{Du}+\theta^{Du}\pi

Der Lagrangeansatz

Aus der Nutzenfunktion und den Nebenbedingungen können wir dann wieder den Lagrange-Ansatz aufstellen:

Maximierungssatz, Nebenbedingung, Freizeitnachfrage
Der Lagrangeansatz

Als erstes rechnen wir jetzt die optimale Freizeitnachfrage aus. Dazu stellst Du Deine Zeitbeschränkung L^{Du}+\F^{Du}=16 nach der Arbeit L um, also:

L^{Du}=16-{\ F}^{Du} .

Das kannst Du dann einfach in den Lagrange- Ansatz einsetzen:

L=\ \left(x^{Du}\right)^\frac{1}{3}\ast\ \left(F^{Du}\right)^\frac{1}{3}+\ \lambda\ \left(px^{Du}-\ w\left(16\ -{\ F}^{Du}\right)-\ \theta^{Du}\pi\ \right)

Wie immer musst Du das Ganze wieder nach allen Variablen ableiten:

Arbeit, Zeit
Ableiten nach den Variablen

Dann teilst Du die erste durch die zweite Gleichung und löst es nach einer Variablen auf. In unserem Fall nach  :

Auflösen nach x

Dann setzt Du das Ganze in die dritte Ableitung ein:

p\left(\ \frac{w}{p}\ast\ F^{Du}\right)-\ w\left(16\ -{\ F}^{Du}\right)-\ \theta\pi=0

Und stellst es nach um:

{F^{Du}}^\ast=8+\frac{\theta^{Du}}{2w}

Damit hast Du Deine optimale Freizeitnachfrage.

Einsetzen von konkreten Werten

Wenn Du jetzt noch konkrete Werte für den Lohn und Deinen Gewinnanteil gegeben hast, kannst Du Dir Deine optimale Freizeit ausrechnen. Das können wir auch gleich mal machen.

Gehen wir davon aus, dass Dein Gewinnanteil 0,01 mal 500€ = 5 €  beträgt und Du 10€ pro Stunde verdienst. Dann sieht deine Formel so aus:

Gewinnanteil, Lohn
Einsetzen der konkreten Werte

Du siehst: du solltest 8 ¼ Stunden Siesta machen und den Rest des Tages, also 7 ¾ Stunden, arbeiten.

Berechnung der optimalen Konsumausgaben

Jetzt müssen wir nur noch Deine optimalen Konsumausgaben berechnen. Dazu nehmen wir an, dass dein Konsumgut hochwertiger Wein ist, von dem eine Flasche jeweils 20 € kostet.

Bei der Berechnung des Lagrange-Ansatzes haben wir diesen ja nach allen Variablen abgeleitet und die erste durch die zweite Gleichung geteilt. Daraus ist dann folgende Formel entstanden:

x^{Du}=\ \frac{w}{p}\ast\ F^{Du}

In diese müssen wir jetzt unsere Zahlen einsetzen:

\left(x^{Du}\right)^\ast=\ 10€h20€*8,25h\ =\ 4,125

Damit beläuft sich deine optimale Nachfragemenge des hochwertigen Weins auf 4,125 Flaschen.

So, jetzt kannst Du Dir für Deinen nächsten Arbeitsplan ausrechnen wie oft Du Dich zum Arbeiten eintragen solltest, damit Du den maximalen Nutzen daraus erzielst.

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