Statistik Wahrscheinlichkeit

Baumdiagramm

Du möchtest wissen, wie du mit einem Baumdiagramm ganz einfach Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst? Dann bist du hier richtig!

Erweiterung zu Wahrscheinlichkeitsbäumen

Mit Hilfe eines Baumdiagramms lassen sich mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen und die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse einfach berechnen. Durch Ergänzung der Zweigwahrscheinlichkeiten an den einzelnen Ästen werden diese zu sogenannten Wahrscheinlichkeitsbäumen. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden dabei für gewöhnlich als Dezimalbrüche angegeben. Anschließend kann man die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisausgänge ganz einfach berechnen. Am besten kann man dies anhand eines Beispiels erklären.

Werfen einer Münze als Beispiel für ein mehrstufiges Zufallsexperiment

Um das ganze möglichst einfach zu halten, gehen wir vom zweimaligen Werfen einer Münze aus. Um dieses Zufallsexperiment als Baumdiagramm darzustellen, musst du dir überlegen wie viele „Stufen“ es hat. Da wir die Münze ja zweimal werfen, hat das Baumdiagramm in unserem Fall zwei Stufen. Dann musst du dir überlegen, was die Ereignisse sind, die eintreten können. In unserem Fall sind das Kopf und Zahl.

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Welche Ereignisse können eintreten?

Die Ereignisse werden in einem Baumdiagramm meist als Kreise dargestellt.

Die verschiedenen Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

Die Linien, die die Ereignisse verbinden werden Pfade genannt, diese bestehen aus den einzelnen Zweigen des Wahrscheinlichkeitsbaums. An diese Pfade müssen wir im nächsten Schritt noch die jeweilige Zweigwahrscheinlichkeit abtragen. Bei unserem Beispiel ist das ganz einfach. Egal ob man die Münze einmal, zweimal oder auch fünfmal wirft, die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl bleibt für jeden Wurf 50%. Wir können also jeden Zweig mit dem Wert 0,5 beschriften.

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Die Zweigwahrscheinlichkeiten sind immer jeweils 0,5

Mit dessen Hilfe können wir nun die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Ergebnisse berechnen, zum Beispiel, dass wir zweimal hintereinander Zahl werfen. Dazu musst du die erste Pfadregel, auch Produktregel genannt, anwenden.

Die erste Pfadregel: Produktregel

Diese besagt, dass man, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Versuchsausgangs zu erhalten, die einzelnen Zweigwahrscheinlichkeiten multiplizieren muss. Um die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Zweimal hintereinander Zahl“ zu berechnen, müssen wir also den entsprechenden Zweigen des Baumdiagramms folgen und diese multiplizieren. Wir rechnen also 0,5 mal 0,5 gleich 0,25. Die Pfadwahrscheinlichkeit beträgt also 25%.

Die zweite Pfadregel: Summenregel

Als nächstes möchten wir berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit einmal Kopf und einmal Zahl geworfen wird, die Reihenfolge ist dabei egal. Dazu brauchen wir zusätzlich zur ersten auch die zweite Pfadregel, die auch Summenregel genannt wird.

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Die Summenregel

Diese besagt, dass man, um die Wahrscheinlichkeit mehrerer Versuchsausgänge zu berechnen, die Pfadwahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse addieren muss. In unserem Fall müssen wir also die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse „Erst Kopf dann Zahl“ und „Erst Zahl dann Kopf“ berechnen und diese dann addieren. Wir rechnen also:

0,5*0,5+0,5*0,5=0,5

Die Zweigwahrscheinlichkeit einmal Zahl und einmal Kopf zu werfen beträgt also 50%.

So, das waren auch schon die wichtigsten Grundlagen zum Baumdiagramm! Zum Abschluss schauen wir uns noch ein etwas komplizierteres Beispiel an, denn mit dem Baumdiagramm lassen sich zum Beispiel auch Zufallsexperimente basierend auf dem Urnenmodell abbilden.

Dreimaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen

Stellen wir uns vor, in einer Urne befinden sich 2 blaue und 8 rote Kugeln. Nun ziehst du nacheinander dreimal jeweils eine Kugel aus der Urne, ohne diese wieder zurückzulegen. Diese Art von Zufallsexperiment wird auch „Ziehen ohne Zurücklegen“ genannt, und wird von uns in einem separaten Video noch einmal genauer betrachtet. Hier zeigen wir dir aber, wie du Aufgaben zu diesem Experiment auch mit dem Baumdiagramm lösen kannst.

Grundsätzlich können wir das Baumdiagramm genau wie beim vorherigen Beispiel erstellen. Jede Ziehung aus der Urne steht für eine Stufe und die Ereignisse sind entweder eine blaue oder eine rote gezogene Kugel. Nur bei den Wahrscheinlichkeiten wird es diesmal etwas komplizierter. Beim ersten Zug ist es noch relativ eindeutig. Da 8 von 10 Kugeln rot sind, beträgt die Zweigwahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen 80%, eine blaue entsprechend 20%. Beim zweiten Zug musst du allerdings aufpassen: da wir nach dem ersten Zug die Kugel nicht mehr zurücklegen, befinden sich nur noch 9 Kugeln in der Urne. Die Zweigwahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, nachdem schon einmal eine rote Kugel gezogen wurde, beträgt jetzt also \frac{7}{9}, da von den insgesamt 9 Kugeln noch 7 rot sind.

Bestimmung der Pfadwahrscheinlichkeiten

Nach dieser Logik kannst du nun alle Pfadwahrscheinlichkeiten bestimmen. Um dich zu kontrollieren, kannst du die Pfadwahrscheinlichkeiten, die von einem Ereignis ausgehen, addieren – dabei muss immer 1 herauskommen.

So, nun sollst du mit dem fertig erstellten Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, erst zwei blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen. Dazu musst du einfach wieder die Pfade entsprechend entlang gehen und die Zweigwahrscheinlichkeiten multiplizieren. Da nur zwei blaue Kugeln in der Urne sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit nach zweimal blau eine rote Kugel zu ziehen 100%. Wir rechnen also

\frac{2}{10}\ast\frac{1}{9}\ast1=\frac{1}{45}=2,2%

Die Wahrscheinlichkeit, erst zwei blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen, beträgt also circa 2,2%. Analog kannst du auch die Pfadwahrscheinlichkeit für viele andere Ergebnisse bestimmen.

Das war auch schon alles Wichtige zum Baumdiagramm! Zur Wiederholung hier noch einmal die beiden Pfadregeln:

  • Erste Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt.
  • Zweite Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, dass mehrere Ergebnisse umfasst, müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse summiert werden.

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