Marketing

Marketing - Preis- / Produktpolitik
Einfaktorielle Varianzanalyse

Hallo! Du hast an einer Umfrage deiner Uni teilgenommen und dich interessiert, wie sie ausgewertet wird? Wir zeigen dir dazu jetzt die einfaktorielle Varianzanalyse.

Beispiel

Legen wir gleich mit einem Rechenbeispiel zur einfaktoriellen Varianzanalyse los:

Beispiel
Beispiel

Im Rahmen deines Praktikums bei einem Gummibärenhersteller sollst du eine Studie zu potentiellen Namen für eine neue Sorte durchführen. Dazu befragst du für jeden der drei möglichen Namen sechs Personen auf einer siebenstufigen Ratingskala. Die Einstellung der Personen zum Produkt siehst du in folgender Tabelle:

Tabelle
Tabelle

Eins entspricht dabei überhaupt nicht attraktiv, sieben bedeutet sehr attraktiv.
Nun will dein Abteilungsleiter von dir wissen, ob zu einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % behauptet werden kann, dass die Einstellung zwischen den Produkten unterschiedlich ist. Da dein Chef ein Perfektionist ist, erwartet er von dir, dass du auch alle nötigen Voraussetzungen, wie normalverteilte abhängige Variablen und Varianzhomogenität, aufzeigst.
Dir ist aus deinem Studium bekannt, dass es sich um eine einfaktorielle Varianzanalyse handelt, da die abhängige Variable „Einstellung“ metrisch ist. Die unabhängige Variable, der Markenname, weißt ein nominales Skalenniveau auf. Die Normalverteilung nehmen wir als gegeben an. Die Varianzhomogenität müssen wir aber testen.
Dabei untersuchen wir, ob die Hypothese, dass alle Varianzen nicht gleich sind, bestätigt werden kann. Somit lautet die Forschungshypothese

H1: σ_(Spaß-Bär)≠σ_( Lach-Bär)≠σ_(Fun-Bär)

Die H0-Hypothese ist

σ_(Spaß-Bär)=σ_( Lach-Bär)=σ_(Fun-Bär)

Da wir drei Gruppen haben, müssen wir diese Formel verwenden:

Formel-Tabelle
Formel-Tabelle

Strichprobenvarianz

Zunächst beginnen wir damit, die Stichprobenvarianz si zu ermitteln Zuerst berechnen wir den Durchschnitt der Einstellung der drei Gruppen. Bei Spaß-Bär lautet dieser 5, bei Lach-Bär 5,67 und bei Fun-Bär 3. Jetzt können wir alle unsere Werte in die Stichprobenvarianz einsetzen. Die Anzahl an Beobachtungen n gleich 6 ist uns ja bereits bekannt. Für Spaß-Bär sieht das so aus:

Stichprobenvarianz
Stichprobenvarianz

und ist gleich 0,8. Die Stichprobenvarianz für Lach-Bär ist 1,47 und für Fun-Bär 0,8.

Varianzhomogenität

Als nächstes können wir die Varianzhomogenität prüfen. 1,47 ist der maximale Wert und somit unser Zähler. Der Nenner ist einfach die Summe der drei Stichprobenvarianzen und ist gleich 3,07. Damit haben wir einen c-Wert von 0,479. Um jetzt die Hypothese, dass die Varianzen gleich sind, zu überprüfen, benötigen wir noch den Kritischen Bereich. Dieser lautet bei einer c-Verteilung 〖(c〗_(α,I,n-1);1). Den Kritischen Bereich können wir aus der Formelsammlung ablesen und sehen, dass er von (0,7071;1) geht. Unser c-Wert liegt nicht im kritischen Bereich. Somit kann die H1 Hypothese nicht bestätigt werden – es liegt also Varianzhomogenität vor.

Varianzhomogenität
Varianzhomogenität

Forschungshypothese

Super! Jetzt haben wir alle notwendigen Voraussetzungen für die einfaktorielle Varianzanalyse erfüllt. Nun stellen wir die Forschungshypothese, die die Behauptung deines Chefs darstellt, auf. Sie lautet: Mindestens ein Mittelwert ist von den anderen unterschiedlich. Für die Varianzanalyse brauchen wir folgende Formel:

Forschungshypothese
Forschungshypothese

Diese sieht erstmal kompliziert aus, aber lass uns Schritt für Schritt vorgehen. Fangen wir beim Zähler an. Dieser ist relativ einfach zu berechnen, da wir die durchschnittlichen x-Werte bereits bei der Varianzhomogenität erhalten haben. Somit sind uns bis auf den Durchschnitt der x-Werte schon alle Werte bekannt. Für diesen addieren wir die drei durchschnittlichen Werte 5, 5,67 und 3. Dann teilen wir durch 3 und erhalten den Wert 4,56. Jetzt haben wir alle notwendigen Zahlen für den Zähler und können diese einsetzen.
Nun widmen wir uns dem Nenner. Dafür müssen wir noch die Summe von (x_i-(x_i ) ̅) ²errechnen. Das bedeutet, dass wir von jedem Wert der Einstellung den entsprechenden Durchschnitt einer Sorte abziehen und ins Quadrat nehmen. Das musst du für alle übrigen Einstellungswerte und Sorten wiederholen und erhältst folgende Werte:
Jetzt müssen wir diese Werte summieren und schon können wir den Nenner einsetzen. Bei n musst du aufpassen, da es sich diesmal nicht um die Anzahl an Befragungen einer einzelnen Sorte handelt, sondern um die gesamten befragten Personen, also: 6 mal 3 gleich 18. Nun haben wir auch alle Werte für den Nenner und können die gesamte Formel berechnen:
und erhalten einen F-Wert von 11,32. Zur Überprüfung der Hypothese benötigen wir erneut einen Kritischen Bereich.
Jetzt müssen wir diesen Wert in der F-Verteilung heraussuchen. Somit lautet der Kritische Bereich (3,68; ∞) (von 3,68 bis unendlich). Wir sehen, dass unser F-Wert Teil des Kritischen Bereiches ist. Somit muss die H0-Hypothese verworfen und die H1 bestätigt werden. Jetzt weißt du, dass sich die Mittelwerte der drei möglichen Namen signifikant unterscheiden. Allerdings kannst du nicht einfach davon ausgehen, dass Lach-Bär die beste Variante ist, nur weil es den höchsten Einstellungswert aufweist.
Deshalb müssen wir einen weiteren Test durchführen. Da wir nur wissen wollen, ob Lach-Bär besser ist als Spaß-Bär, brauchen wir einen sogenannten T-Test bei unabhängigen Stichproben. Das gute ist, dass wir die Voraussetzungen bereits erfüllt haben.

Kritischer Bereich
Kritischre Bereich

Für den T-Test müssen wir diese Hypothese noch etwas umformen.
Die notwendigen Werte für den T-Test haben wir bereits bei der einfaktoriellen Varianzanalyse berechnet. Somit können wir die Werte gleich in die Formel einsetzen und erhalten für t gleich 1,09. Jetzt brauchen wir noch den kritischen Bereich. Bei diesem müssen wir beachten, dass wir einen rechtsseitigen Test gemacht haben, da getestet wird, ob Lach-Bär größer als Spaß-Bär ist. Deshalb sieht der kritische Bereich so aus:
Wir setzten nun unsere Werte ein und schauen den Wert in deiner Formelsammlung nach. Der Kritische Bereich läuft von 1,812 bis unendlich.

Unser t-Wert liegt nicht in diesem Bereich, also sind die Unterschiede zwischen Lach-Bär und Spaß-Bär nicht signifikant.

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