Mikroökonomie

Kurz- und langfristige Gewinnmaximierung

Gewinnmaximierung ist in den Wirtschaftswissenschaften das zentrale Ziel von Unternehmen. Diese wird unterschieden in kurzfristige und langfristige Gewinnmaximierung.

Du kennst die Begriffe kurz- und langfristige Gewinnmaximierung aus der Mikroökonomie, bist dir aber nicht mehr sicher was diese bedeuten? Schau dir unser Video an! Hier erklären wir dir die beiden Formen der Gewinnmaximierung und zeigen dir an einem Beispiel, wie man diese berechnet.

Kurzfristige Gewinnmaximierung: Definition

Bei der kurzfristigen Gewinnmaximierung wird immer ein Inputfaktor konstant gehalten. Ein gutes Beispiel wäre hier die Miete für eine Produktionshalle. In der kurzen Frist muss die Miete immer gezahlt werden, egal ob die Halle genutzt wird oder nicht. Langfristig kann man dann aber entscheiden, ob man die Halle weiterhin mieten möchte oder den Mietvertrag kündigt.

Der 2. Faktor ist bei der kurzfristigen Produktionsfunktion variabel. Ein Beispiel hierfür wäre die Heizung für die Produktionshalle. Die Halle muss natürlich nur geheizt werden, wenn sie genutzt wird. Der Inputfaktor fällt also nur bei der Produktion an.

Gewinnmaximierung berechnen

Machen wir uns also an die mathematische Lösung des Optimierungsproblems. Hierfür brauchen wir zunächst eine Produktionsfunktion. Die könnte so aussehen:

y\left(x_1,\ \bar{x_2\ }\right)=\ {x_1}^{0,5}\ast\ {\ \bar{x_2\ }\ }^{0,5}

Als fixen Faktor nehmen wir den Kapitaleinsatz in unserem Unternehmen, also \bar{x_2\ }=64, als Preis für das Kapital w_2=3, als Lohnsatz w_1=2 und als Preis für unser Produkt p=8. Der Faktor Mitarbeiter x_1 ist variabel.

Wir müssen die gewinnmaximierende Produktionsmenge ausrechnen. Dafür müssen wir erstmal die Anzahl der Mitarbeiter ermitteln, die wir für unser Unternehmen brauchen. Dazu stellen wir zunächst den Maximierungsansatz auf und setzen die gegeben Zahlen ein :

Maximierungsansatz
Maximierungsansatz

Nun müssen wir die Bedingung 1. Ordnung beachten. Sie fordert, die Menge des variablen Faktors soweit auszudehnen, bis das Wertgrenzprodukt und der zugehörige Faktorpreis übereinstimmen. Das Wertgrenzprodukt gibt Dir hierbei an, welchen zusätzlichen Erlös Du erzielen kannst, wenn Du eine zusätzliche Einheit, hier einen zusätzlichen Mitarbeiter, einsetzt. Einfach gesagt: das Grenzprodukt multipliziert mit dem Preis.

Gewinnmaximierung Beispiel

Bei unserem Beispiel heißt das, wir müssen solange weitere Mitarbeiter einstellen bis der Mehrwert, der durch sie entsteht, also das Wertgrenzprodukt, ihrem Lohneinkommen entspricht. Wir leiten erstmal den Maximierungssatz nach x_1 ab:

Ableiten nach X1
Ableiten nach X1

Danach stellen wir die Gleichung so um, dass links das Wertgrenzprodukt und rechts der zugehörige Faktorpreis steht:

pMP\left(x_1,\ \bar{x_2\ }\right)=\ w_{1\ } (8\ast(8\ast0,5{x_1}^{-0,5})) = 2

Die Bedingung 2. Ordnung fordert, dass der variable Faktor eine abnehmende Grenzproduktivität aufweist. Deswegen sinkt, durch die Ausweitung der Produktion, das Wertgrenzprodukt und erreicht damit ein Gleichgewicht mit den Kosten. Das bedeutet, je mehr Mitarbeiter Du bereits eingestellt hast, desto weniger bringt Dir ein weiterer. Das heißt der erste Mitarbeiter, den Du einstellst, bringt Dir am meisten, der 2. dann schon etwas weniger, der 3. noch weniger und der 4. schon Nichts außer Ärger. Sprich du stellst solange neue Mitarbeiter ein, bis der Mehrwert, den Du aus dem zusätzlich eingestellten Mitarbeiter erhältst, dem Lohnsatz entspricht. Das ist dann unser Optimum. Mathematisch ausgedrückt, sieht das dann so aus:

\frac{\partial MP\left(x_1,\ \bar{x_2\ }\right)}{\partial x_1} <0

Mit der passenden Graphik wird das vielleicht noch ein bisschen deutlicher:

Potenz und Kostenfunktion
Potenz und Kostenfunktion

Hier siehst Du die fallende Potenzfunktion des Grenzprodukts und die lineare Funktion der Kosten. Zunächst ist das Grenzprodukt größer als die Kosten, Du stellt also weitere Mitarbeiter ein. Bis zu dem Punkt an dem sich beide Funktionen schneiden. Das ist Dein Optimum. Du hast also genau die passende Anzahl von Mitarbeitern eingestellt um Deinen Gewinn auf kurze Frist zu maximieren.

Ab diesem Punkt ist das Grenzprodukt kleiner als die Kosten, Du solltest also nicht noch mehr Mitarbeiter einstellen.

Ergebnis der kurzfristigen Gewinnmaximierung

Unsere Funktion von vorhin (8\ast(8\ast0,5{x_1}^{-0,5})) = 2 lösen wir jetzt einfach nach x_1, also der Anzahl der Mitarbeiter, die wir für unser Unternehmen brauchen, auf. {x_1}^\ast ist somit 256. Das heißt wir brauchen von unserem variablen Faktor 256 Einheiten. Wir benötigen also 256 Mitarbeiter.

Jetzt rechnen wir nur noch unser Gewinnmaximum y^\ast aus. Dafür setzen wir {x_1}^\ast in unsere Produktionsfunktion ein:

y^\ast=\ {256}^{0,5}\ast8=128

Im kurzfristigem Gewinnmaximum produzieren wir also 128 Einheiten unseres Produkts. Nun kannst Du noch alles in Deine Gewinngleichung einsetzten um den kurzfristig maximalen Gewinn zu errechnen! Unser maximaler Gewinn im kurzfristigen Gewinnmaximum ist damit 320.

Zusammenfassung

Fassen wir nochmal kurz alles zusammen: Du stellst also erstmal Deinen Maximierungssatz auf, dann leitest du ihn nach dem variablen Faktor ab und stellst das Ganze so um, dass auf der einen Seite das Wertgrenzprodukt und auf der anderen Seite der Faktorpreis steht. Dann löst du nach deinem variablen Faktor auf, setzt alles in die Produktionsfunktion ein und hast auch schon die gewinnmaximierende Outputmenge. Wenn Du das jetzt noch in Gewinnfunktion einsetzt, ergibt sich daraus Dein Gewinnmaximum.

 

Weiter geht´s mit der langfristigen Gewinnmaximierung:

langfristige Gewinnmaximierung, Gewinnmaximierung
Langfristige Gewinnmaximierung

Langfristige Gewinnmaximierung: Definition

Nun hast du hoffentlich die kurzfristige Gewinnmaximierung verstanden. Im weiteren Teil des Beitrags erklären wir dir kurz und knapp die langfristige Gewinnmaximierung und zeigen euch auch hier anhand eines Beispiels, wie man die langfristige Gewinnmaximierung ganz einfach berechnen kann.

Im Gegensatz zur kurzfristigen Gewinnmaximierung sind hier beide Faktoren variabel. Du musst also beide Faktoren verändern um zu deinem Gewinnmaximum zu kommen.

Die langfristige Gewinnmaximierung ist dabei auch das eigentliche Ziel des Unternehmens, denn eine Unternehmung soll natürlich auf lange Frist möglichst hohe Gewinne erzielen. Kurzfristig muss es nur einen höheren Verkauf anstreben.

Langfristige Gewinnmaximierung berechnen

Wie bei der kurzfristigen Gewinnmaximierung, hast du auch hier eine Produktionsfunktion. Diese sieht in unserem Fall so aus:

y\left(x_1,\ x_2\right)=\ {x_1}^\frac{2}{3}\ \ast\ {x_2\ }^\frac{1}{4}

Nehmen wir an Dein Start-Up produziert Limonade. Deine Produktionsfaktoren könnten dann Wasser in Litern x_1 und Zitronen x_2 sein. Die Limonade wird zwar so ganz ohne Zucker etwas sauer, aber schmeckt bestimmt trotzdem!

Legen wir noch die Faktorkosten und den Limonaden Preis fest: w_1=5 , w_2=0,25 und p = 15. Wie bei der kurzfristigen Gewinnmaximierung, muss man auch hier wieder den Maximierungssatz aufstellen und alle vorhandenen Informationen einsetzen.

Maximierungsansatz langfristige Gewinnmaximierung
Maximierungsansatz langfristige Gewinnmaximierung

Da ja hier beide Faktoren variabel sind, müssen wir den Maximierungssatz auch nach beiden Faktoren ableiten. Wir errechnen also das Grenzprodukt sowohl für die Liter Wasser also auch für die Zitronen und wenden die Optimierungsbedingung an. Diese lautet {pMP}_i=\ w_i und wird auch einfach Inputregel genannt. Das sieht dann so aus:

Optimierungsbedingung
Optimierungsbedingung

Danach bringen wir die Faktorpreise wieder auf die andere Seite und multiplizieren das jeweilige Grenzprodukt mit dem passenden Produktionsfaktor. Dadurch können wir die ursprüngliche Produktionsfunktion einsetzen und erhalten somit die von y abhängigen Faktoreinsatzmenge. Das sieht wie folgt aus:

Einsetzen in die Produktionsfunktion
Einsetzen in die Produktionsfunktion

Die Berechnung für den Einsatzfaktor Zitrone sieht folgendermaßen aus:

Einsetzen in die Produktionsfunktion
Einsetzen in die Produktionsfunktion

Jetzt stellst du deine Gleichungen noch nach den Produktionsfaktoren um und erhältst die Faktoreinsatzmengen in Abhängigkeit des Outputs:

{x_1}^\ast\left(y\right)=\ 2y
{x_2}^\ast\left(y\right)=\ 15y

Ergebnis der langfristigen Gewinnmaximierung

Damit Du den gewinnmaximierenden Output rausbekommst, setzt du das Ganze in Deine Produktionsfunktion ein:

y^\ast=\ {\ (2y)}^\frac{2}{3}\ \ast\ {(15y)\ }^\frac{1}{4}

Und löst es nach y auf:

y^\ast=864.000

Damit beträgt dein gewinnmaximierendes Output 864.000 Flaschen Limonade!

Jetzt noch y^\ast in die Faktoreinsatzmengen in Abhängigkeit des Outputs einsetzten, dann weißt du auch schon, wie viel Wasser und wie viel Zitrone Du brauchst um deinen Gewinn zu maximieren:

Ergebnis der Gewinnmaximierung
Ergebnis der Gewinnmaximierung

Du benötigst also für Dein Gewinnmaximum 1.728.000 Liter Wasser und 12.960.000 Zitronen. Um Deinen Gewinn auszurechnen, musst Du alle Deine Werte nur noch in die Gewinnfunktion vom Anfang einsetzten:

\pi^\ast=15\ast\ 864.000-\ 5\ast1.728.000-\ 0,25\ast 12.960.000=1.080.000

Da Du einen Gewinn von 1.080.000€ machst, scheint sich Dein Start-Up ziemlich zu lohnen.

Damit haben wir das Thema der langfristigen Gewinnmaximierung und der kurzfristigen Gewinnmaximierung abgeschlossen.

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