Corporate Finance

Performancemessung – Gesamtrisiko

Stell dir vor, dein Chef möchte Geld investieren und fragt dich wie er die Performance eines Fonds mit der eines Marktindex auf Basis des Gesamtrisikos vergleichen kann?
Bevor du ins Schwitzen kommst, pass jetzt gut auf!

Gesamtrisiko einer Anlage

Bevor wir uns mit der Performancemessung beschäftigen, ist es wichtig, dass du die Efficient Market Hypothesis verstanden hast. Solltest du nicht mehr genau wissen, um was es dabei geht, dann schau dir unser Video dazu an.
Wenn du die Performance einer Anlage bewerten sollst, spielt meistens das mit der Anlage verbundene Risiko eine Rolle. Beim Thema Risiko kann grundsätzlich zwischen Gesamtrisiko und Marktrisiko unterschieden werden. In diesem Video schauen wir uns verschiedene zweidimensionale Performancemaße auf Basis des Gesamtrisikos einer Anlage an. Zentral für dieses Video ist somit die Standardabweichung, die mit Sigma beziffert wird.
Dein Chef hat dir in einer Tabelle folgende Werte für einen Marktindex und für einen Fonds gegeben.
Der Erwartungswert der Renditen beträgt 10 beziehungsweise 15 Prozent und die Standardabweichung der Renditen ist 15 beziehungsweise 25 Prozent.

Sharpe-Ratio Differezrendite Risk-Adjusted-Performance
Beispieldaten

Anhand dieser Werte sollst du nun die Sharpe-Ratio, die Differenzrendite und die Risk-Adjusted-Performance, kurz RAP, bestimmen.

Berechnungen

Dazu schauen wir uns die folgende Zeichnung an. In einem zweidimensionalen Koordinatensystem sind an der Ordinate die Erwartungswerte der Renditen und an der Abszisse die Standardabweichungen der Renditen abgebildet. In dieses Koordinatensystem tragen wir nun den risikofreien Zinssatz r f, den Marktindex und den Fonds ein und verbinden jeweils den Fond und das Marktportfolio mit dem rf.

Sharpe-Ratio
Sharpe-Ratio

Beim ersten Peformancemaß, der Sharpe-Ratio berechnen wir nichts anderes als die Steigung der Verbindungslinie von rf und Fonds beziehungsweise von rf und Marktportfolio. Die Sharpe-Ratio gibt uns die Überschussrendite im Vergleich zum rf pro Einheit Gesamtrisiko an. Die Formel dafür lautet also:

SR=\frac{\mu_{ri}-r_f}{\sigma_{ri}}

Für den Markt also:

{SR}_M=\frac{0,1-0,05}{0,15}=0,33

Und für den Fonds:

{SR}_F=\frac{0,15-0,05}{0,25}=0,4

So viel zur Sharpe-Ratio. Kommen wir als nächstes zur Differenzrendite. Bei dieser berechnest du die Differenz zwischen der Fondsrendite und der Rendite des auf das Fondsrisiko gehebelten Marktportfolios.
Zur Berechnung ziehst du von der Rendite des Fonds die risikoadjustierte Marktrendite ab:

{DR=\mu_{ri}-(r}_f+\frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\sigma_{ri})

Diese Differenz entspricht also dem vertikalen Abstand zwischen dem Fond und der Verbindungslinie des rf mit dem Marktporfolio.

Differenzrendite
Differenzrendite

Risk-Adjusted Performance

Das Problem beim Fondsvergleich auf Basis der Differenzrendite ist, dass jeweils ein unterschiedliches Gesamtrisiko angesetzt ist und ein Ranking der Fonds somit wenig Sinn macht. Du kannst hier also nur eine Aussage zur Performance des Fonds im Vergleich zum Markt tätigen.
Dein Chef möchte ja aber nicht nur wissen, wie sich der Fonds im Vergleich zum Markt schlägt, sondern auch, wie er im Gegensatz zu anderen Fonds performt.
Es ist aber nicht immer einfach, zwei Anlagealternativen auf Basis von Erwartungswert und Risiko zu vergleichen. Daher gibt es Performancemaße, um diese Problematik zu umgehen und die Werte vergleichbar zu machen. Die RAP zum Beispiel gibt an, wie eine Anlage performt, wenn sie auf das Risiko des Marktes gehebelt wird.
Wie das funktioniert, schauen wir uns mit Hilfe der Formel und der Zeichnung von vorhin an. Die Formel der RAP lautet:

RAP=r_f+\frac{\mu_{ri}-r_f}{\sigma_{ri}} \times\sigma_M

Was wird dabei also gemacht? Du rechnest zum rf die Überrendite im Vergleich zu risikofreien Rendite geteilt durch das Risiko der Anlage und multiplizierst dann mit der Standardabweichung des Marktindex und hebelst somit die Fondsperformance auf das Risikoniveau des Marktes.

Risk-Adjusted-Performance
Risk-Adjusted-Performance

Wenn du die RAP für mehrere Fonds ausrechnest, könntest du die Performance vergleichen.
Dadurch, dass in unserem Beispiel das Gesamtrisiko des Fonds höher als das des Marktes ist, entspricht dieses Hebeln also dem Verkauf von Fondsanteilen und der Anlage des erhaltenen Betrages zu rf.
Wenn wir die Zahlen einsetzen, ergibt sich für den Fonds eine Risk-Adjusted-Performance von 0,11. Das bedeutet, dass der Fonds für eine Standardabweichung von 15 Prozent eine erwartete Rendite von 11 Prozent hat und den Markt somit um ein Prozent schlägt. Wenn Du die Zahlen für die RAP des Marktes einsetzt, wird dir auffallen, dass diese immer gleich der erwarteten Rendite des Marktes ist, da sich das Risiko hier ja nicht verändert.

Wenn du das weißt, kannst du dir bei den Berechnungen viel Zeit sparen und deinen Chef schneller mit Informationen versorgen.

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