Wahrscheinlichkeitsrechnung

Permutation

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel beantwortet die Frage „Was ist eine Permutation?“. Nach einer Definition und Einordnung innerhalb der Kombinatorik, werden die Permutationen verständlich an einem Beispiel erklärt. Dabei wird jeweils unterschieden wie man die Anzahl der Möglichkeiten bei Permutationen mit oder ohne Wiederholung berechnen kann.

Du bist zwar textsicher hast aber sicherlich keine Lust auf so viel Text? Unsere Videos Permutation mit Wiederholung und Permutation ohne Wiederholung ersparen dir den Leseaufwand!

Permutation Definition

Als Permutation wird in der Kombinatorik eine mögliche Anordnung von Objekten bezeichnet. Je nachdem ob alle Objekte unterscheidbar voneinander sind oder nicht, handelt es sich um eine Permutationen mit Wiederholung oder ohne Wiederholung.

Kombinatorik Permutation

Wie auch bei den Variationen und den Kombinationen, unterscheidet man also auch bei den Permutationen zwischen solchen ohne und solchen mit Wiederholung. Im Folgenden findest du eine Einordnung von Permutationen in eine Übersicht aller Formeln der Kombinatorik.

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Kombinatorik Permutation

Unterschied Permutation Kombination

Generell unterscheidet man in erster Linie, ob man alle Objekte oder nur einen Teil davon betrachtet. Gehen wir davon aus, dass nur eine Teilmenge der Grundgesamtheit für die Berechnung der Möglichkeiten relevant ist, so spricht man von Kombinationen beziehungsweise Variationen. Bei einer Kombination ist im Gegensatz zur Variation ist die Reihenfolge der Anordnung nicht relevant. Trifft man dagegen keine Auswahl, so berechnet man die Möglichkeiten die Elemente anzuordnen mithilfe von Permutationen. Permutationen ähneln grundsätzlich sehr stark den Variationen. Der einzige Unterschied ist, dass bei Permutationen die Besonderheit N=k gilt. Das heißt dass aus insgesamt N Elementen alle Elemente gezogen werden und nicht nur die Teilmenge relevant ist.

 

Permutation mit Wiederholung

Betrachten wir zuerst Permutationen mit Wiederholung.  Jetzt fragst du dich vielleicht, wie es eine Wiederholung geben kann, wenn alle Elemente auf einmal gezogen werden.

Man spricht von Permutationen mit Wiederholung, wenn es Elemente in der Ausgangsmenge gibt, die nicht voneinander unterscheidbar sind, also zum Beispiel Kugeln derselben Farbe. Anhand eines Beispiels wird das ganze gleich verständlicher.

Permutation Beispiel

Stell dir vor, du hast 8 Kugeln. Eine davon ist gelb, eine ist rot, 2 sind grün und 4 sind blau. Nun sollst du herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt diese Kugeln anzuordnen. Man kann also jeweils die beiden grünen und die 4 blauen Kugeln nicht voneinander unterscheiden.

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Permutation mit Wiederholung

Permutation Formel

Deshalb muss man die musst du die Formel der N Fakultät, leicht abwandeln, indem du sie durch das Produkt der Fakultäten der Häufigkeiten jedes Elements teilst. Allgemein sieht die Formel bei Permutationen mit Wiederholung dann so aus:

\frac{N!}{k_1!\ast k_2!\ast...\ast k_n!}

 

Permutation berechnen

Setzten wir die Zahlen unseres Beispiels ein, so erhalten wir:

\frac{8!}{1!\ast1!\ast2!\ast4!}=840

Es gibt also 840 Möglichkeiten, die Kugeln anzuordnen.

Permutation ohne Wiederholung

Während es bei Permutationen mit Wiederholung Elemente in der Ausgangsmenge gibt, die nicht voneinander unterscheidbar sind, unterscheiden sich im Fall ohne Wiederholung alle Elemente voneinander. Das heißt, dass jedes Objekt tatsächlich einzigartig ist bezüglich seiner Merkmalsausprägungen.

Permutation Beispiel

Ein Beispiel hierfür wäre, dass 10 Studenten den Vorlesungssaal verlassen. Nun sollst du berechnen, wie viele Reihenfolgen dabei möglich sind.

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Permutation ohne Wiederholung

Permutation Formel

Allgemein lautet die Formel zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten bei Permutationen ohne Wiederholung ganz einfach N Fakultät:

N!

Einfach gesagt multipliziert man also einfach die Anzahl der verbleibenden Möglichkeiten auf.

Permutation berechnen

Für den ersten Student, der die Vorlesung verlässt, gibt es noch 10 Möglichkeiten. Für den zweiten schon nur noch 9 und so weiter. Insgesamt gibt also 10 mal 9 mal 8 mal 7 etc., also 10 Fakultät Möglichkeiten. Das sind insgesamt 3.628.800 mögliche Reihenfolgen der Studenten!

 

So, das wars auch schon zu Permutationen! Zusammenfassend musst du dir also nur merken, dass Permutationen eine Art Sonderform der Variationen mit N=k darstellen. Im Falle einer Wiederholung ist die allgemeine Formel zur Berechnung der Möglichkeiten  \frac{N!}{k_1!\ast k_2!\ast...\ast k_n!}. Bei Permutationen ohne Wiederholung kannst du die Anzahl an Möglichkeiten ganz einfach mit N Fakultät berechnen.

 

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