Statistik Wahrscheinlichkeit

Diskret
Poissonverteilung

Du suchst nach einer Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften der Poissonverteilung? Dann bist du hier richtig!

Poissonverteilung: Die Häufigkeit eines Ereignisses innerhalb einer gewissen Zeit

Die Poissonverteilung gehört ebenfalls zu den diskreten Verteilungen und wird vor Allem dann gebraucht, wenn in einem Zufallsexperiment die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird. Ein Beispiel hierfür wäre die Frage, wie viele Studenten zwischen 12.00 und 12.15 Uhr in den Vorlesungssaal kommen.

Poissonverteilung
Wie viele Studenten kommen zwischen 12.00 und 12.15 an?

Mathematisch ausgedrückt sieht die Poissonverteilung wie folgt aus:

X\ ~\ Po(\lambda)

Lamda steht dabei für die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Ereignissen, in unserem Beispiel die zu erwartende Anzahl an Studenten. Wenn wir davon ausgehen, dass im Schnitt 10 Studenten die Vorlesung zwischen 12.00 und 12.15 betreten, würden wir die Poissonverteilung also wie folgt aufschreiben:

X\ ~\ Po(10)

Dichte- und Verteilungsfunktion

Die Formel für die Dichtefunktion der Poissonverteilung sieht etwas ungemütlich aus, ist aber eigentlich nicht sehr kompliziert:

f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\ast\ e^{-\lambda}

Damit könnte man in unserem Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 12 Studenten den Vorlesungssaal zwischen 12.00 und 12.15 Uhr betreten. Dazu setzt du einfach x gleich 12 und lamda gleich 10 in die Gleichung ein und erhältst eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 9,5%.

f(12)=\frac{{10}^{12}}{12!}\ast\ e^{-10}=0,0948

Für die Verteilungsfunktion der Poissonverteilung gibt es leider mal wieder keine bequeme Formel. Du musst hier die einzelnen Werte der Dichtefunktion aufsummieren:

F(x)=P(X\le\ x)=\sum_{k=0}^{x}{f(k)}

Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert und die Varianz der Poissonveteilung sind sehr einfach zu bestimmen: beide werden ganz einfach durch den Wert lamda beschrieben.
Jetzt ist die Poissonverteilung kein Problem mehr für dich!
Zusammenfassend findest du hier nochmal alle wichtigen Formeln:

Poissonverteilung Formeln
Wichtige Formeln

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