Produktion & Logistik

Produktion und Logistik I
Produktionsprogrammplanung

Die lineare Optimierung wird in vielen verschiedenen Bereichen eingesetzt. In der Vorlesung wird das Thema lineare Optimierung oft sehr komplex erklärt. Mit unserer Anleitung zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du das Problem der linearen Optimierung lösen kannst.

Ein Beispiel der Produktionsprogrammplanung: Lineare Optimierung

Die lineare Optimierung wird auch als lineare Programmierung bezeichnet. Sie wird beispielsweise bei der mittelfristigen operativen Produktionsprogrammplanung angewendet, um den größtmöglichen Gewinn zu erzielen.

Produktionsprogrammplanung
Produktionsprogrammplanung

In unserem Beispiel möchtest du genau so viele Kleider und T-Shirts produzieren, um den maximalen Deckungsbeitrag zu erhalten. Daher steht x_1 für die Anzahl der Kleider und x_2 für die Anzahl der T-Shirts. Um die idealen Produktionsmengen für x_1 und x_2 herauszufinden, wenden wir die lineare Optimierung an.

Zielfunktion für die Lineare Optimierung Aufgaben

Nehmen wir an, du erzielst mit jedem verkauften Kleid einen Gewinn von sieben Geldeinheiten (GE) und mit jedem verkauften T-Shirt einen Gewinn von vier GE. Jetzt können wir in einem ersten Schritt unsere Zielfunktion für die lineare Optimierung aufstellen.

ZF:\ max\ 7x_1+4x_2

Nebenbedingungen für die lineare Optimierung

Jetzt kannst du natürlich nicht unendlich viel produzieren, da deine Kapazitäten und die Nachfrage am Markt begrenzt sind. Neben unserer Zielfunktion müssen wir also mehrere Nebenbedingungen beachten, um die lineare Optimierung durchzuführen. Nehmen wir an du kannst im Planungszeitraum maximal zehn Kleider und 20 T-Shirts am Markt absetzen. Mit diesen Informationen kannst du nun die zwei folgenden Restriktionen für die lineare Programmierung aufstellen:

x_1\le10\ und\ x_2\le7

Auch die Maschine, die bei der Produktion im Einsatz ist, hat ihre Grenzen. Nehmen wir an ihre Kapazität beträgt im Planungszeitraum insgesamt 15 Zeiteinheiten (ZE). Du weißt, dass die Produktion eines Kleides an der Maschine drei ZE beträgt und die Produktion eines T-Shirts zwei ZE. Damit kannst du eine weitere Nebenbedingung für die lineare Optimierung aufstellen:

3x_1+2x_2\le15

 

Jetzt kommt noch die zeitliche Beschränkung durch das Personal hinzu. Nehmen wir an wir haben 20 ZE zur Verfügung. Die Produktion eines Kleides benötigt sechs ZE Personal, die eines T-Shirts zwei ZE. Daraus ergibt sich diese Nebenbedingung für die Lineare Optimierung:

6x_1+2x_2\le20

Zuletzt ergeben sich noch zwei Nebenbedingungen aus der Nichtnegativitätsbedingung. Diese sorgt dafür, dass die Anzahl an Kleidern  und an T-Shirts nicht negativ sein kann. Wir schreiben also:

x_1\geq 0\ und\ x_2\geq 0

Lineares Gleichungssystem

Schauen wir uns also die Zielfunktion und die Nebenbedingungen nochmal im Überblick an. Wie du siehst, wird die Produktion durch sechs Nebenbedingungen beschränkt.

Lineares Gleichungssystem
Lineares Gleichungssystem

Aber wie erhältst du nun deine optimalen Produktionsmengen? Am einfachsten geht das über die graphische Lösung. Du löst also alle Nebenbedingungen nach x_2 auf und erhälst ein lineares Gleichungssystem.

Lineare Optimierung graphische Lösung

Die einzelnen Geraden zeichnest du in ein Koordinatensystem ein. Die x-Achse gibt hier die Anzahl an Kleidern an, die y-Achse die Anzahl an T-Shirts. Das sieht dann so aus:

Lineare Optimierung graphische Lösung
Lineare Optimierung graphische Lösung

Auch die beiden Achsen x_1 und x_2 stellen Nebenbedingungen für die lineare Optimierung dar, da wir ja keine negativen Produktionsmengen erhalten dürfen. Du siehst, dass es mithilfe des linearen Gleichungssystems zu vier Schnittpunkten kommt. So erhalten wir die vier Ecken A, B, C und D, die unseren Lösungsraum begrenzen. Dieser ist in unserer Zeichnung gelb schraffiert und beinhaltet alle möglichen Lösungen. Die optimale Lösung wird sich in einer Ecke befinden, da dort die Kapazitäten am besten genutzt werden. Aber welche Ecke gibt die optimalen Produktionsmengen an?

Lineare Optimierung graphisch – Maximierung der Zielfunktion

Dazu musst du in einem letzten Schritt für die lineare Optimierung die Zielfunktion in dein Koordinatensystem eintragen. Dafür setzt du sie zuerst gleich null und löst sie dann nach x_2 auf:

x_2=-\frac{7}{4}x_1

Diese zeichnest du in dein Koordinatensystem ein. Du siehst, die Zielfunktion ist noch variabel. Wir möchten ihren Wert ja maximieren. Deshalb schiebst du die Gerade deiner Zielfunktion nun so weit nach oben rechts bis sie die letzte Ecke deines zulässigen Bereichs schneidest.

Lineare Optimierung
Lineare Optimierung

Jetzt musst du nur noch die Koordinaten ablesen und schon hast du die optimalen Produktionsmengen gefunden. Du musst also etwa 1,7 Kleider und etwa 5 T-Shirts produzieren, um den maximalen Gewinn zu erhalten.

Rechnerische Überprüfung der grafischen Lösung

Möchtest du die graphische Lösung überprüfen, kannst du die Zielfunktionswerte jeder Ecke berechnen. Da unser Zielfunktionswert unseren Gewinn angibt, werden wir die Ecke mit dem höchsten Wert wählen. Damit du die Zielfunktionswerte ausrechnen kannst, musst du die Koordinaten jeder Ecke kennen. Das bereits aufgestellte lineare Gleichungssystem hilft uns dabei.

Lineare Optimierung: Ecke B
Lineare Optimierung: Ecke B

Beginnen wir mit der Ecke A. Die Koordinaten sind hier offensichtlich (0/0). Dementsprechend ist der Zielfunktionswert auch null. Die Ecke B ist der Schnittpunkt der x_2-Achse mit der Geraden drei. Wir können die Werte also ganz einfach ablesen: (0/7,5). Setzten wir die Werte in die Zielfunktion ein, kommen wir auf 30.

Lineare Optimierung: Ecke C
Lineare Optimierung: Ecke C

Weiter geht’s mit der Ecke C. Hier schneiden sich die Geraden drei und vier. Um ihre Koordinaten herauszufinden, müssen wir beide Geraden miteinander gleichsetzen. Lösen wir nach x_1 auf, erhalten wir etwa 1,67. Setzen wir diesen Wert in eine der beiden Geradengleichungen ein, kommen wir für x_2 auf 4,99. Setzen wir beide Werte dann in die Zielfunktion ein, erhalten wir 31,65.

Lineare Optimierung: Ecke D
Lineare Optimierung: Ecke D

Jetzt fehlt nur noch die Ecke D. Hier schneidet die Gerade vier die x_1-Achse. Setzen wir in die Geradengleichung für x_2 null ein, erhalten wir für x_1 ungefähr 3,33. Hier bekommen wir dann einen Zielfunktionswert von 23,31.

Vergleich der Zielfunktionswerte

Vergleichen wir alle Werte miteinander, sehen wir, dass die Ecke C mit 31,65 den höchsten Wert besitzt. Wir sind bei der graphischen Lösung also genau richtig gelegen.

Lineare Optimierung: Vergleich der Zielfunktionswerte
Lineare Optimierung: Vergleich der Zielfunktionswerte

Durch die Berechnungen konnten wir ebenfalls die exakt zu produzierende Mengen an Kleidern und T-Shirts herausfinden, nämlich 1,67 Kleider und 4,99 T-Shirts. Die lineare Optimierung führt also sowohl graphisch als auch rechnerisch zur richtigen Lösung.

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