Statistik Wahrscheinlichkeit

Stetige Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Inhaltsübersicht

In diesem Video erklären wir dir die stetige Dichte- und Verteilungsfunktion, was ihre Eigenschaften sind und was sie genau aussagt.

Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen

Die Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen hat drei grundlegende Eigenschaften:

Drei Eigenschaften der Dichtefunktion

Sie ist erstens immer größer oder gleich null.

f\left(x\right)\geq0 für alle x\ \epsilon\ R

Zweitens ist ihr Integral gleich 1.

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
Die Dichtefunktion kann auch Werte größer 1 annehmen

Aber Vorsicht, die Dichtefunktion kann trotzdem Werte größer eins annehmen, falls die Ausprägungen zum Beispiel zwischen minus eins und eins liegen.

(-1\ \le\ x\ \le1)

Und drittens ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt gleich null.

P\ (X\ =\ x) = 0 für alle x\ \epsilon\ R

Exakte Wahrscheinlichkeit nicht bestimmbar

Du fragst dich warum? Um das nachzuvollziehen musst du dir ein etwas abstraktes Beispiel vorstellen.

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
Die Wahrscheinlichkeit, dass du genau richtig schätzt ist gering

Nehmen wir an, du schätzt und misst anschließend die Zeit eines 100 Meter Läufers auf zehn Nachkommastellen genau. Da hier rein theoretisch alle Zeiten von null bis unendlich möglich sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass du genau richtig schätzt, extrem gering. Nun kannst du aber in der Theorie nicht nur auf zehn, sondern auf unendlich viele Nachkommastellen genau messen. Deshalb ist es unmöglich für ein beliebiges x die exakte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

Wir können für stetige Zufallsvariablen aber die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Intervalle bestimmen. Bei uns wäre das also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer schneller als 12 Sekunden läuft.

Integration der Dichtefunktion

Um das genau zu berechnen, brauchen wir die Dichte- und die Verteilungsfunktion.

Die Dichtefunktion ist eine visuelle Darstellung der Verteilung deiner Variablen. Sie zeigt an, in welchem Bereich die Zufallsvariable am stärksten ausgeprägt ist. Eine Dichtefunktion für den 100 Meter Läufer könnte zum Beispiel so aussehen:

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
Visuelle Darstellung der Verteilung der Variablen

Die Wahrscheinlichkeit einzelner Intervalle erhalten wir nun, indem wir die Fläche unter der Dichte berechnen. Wir benötigen also das Integral. Hier wird erneut deutlich, warum wir keine Wahrscheinlichkeiten für exakte Werte bestimmen können. Die Fläche unter einem Punkt ist schließlich immer null.

P\ (X\ =\ x)\ =\ \int_{x}^{x}{f(t)\ dt\ =\ F(x)\ -\ F(x)\ =\ 0}

Aus der Integration der Dichtefunktion ergibt sich die Verteilungsfunktion.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit mithilfe der Verteilungsfunktion

Kommen wir zum Abschluss auf unsere Fragestellung von vorhin zurück: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Läufer schneller als 12 Sekunden?

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion

Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:

P\ (X\le\ 12)\ =\ \int_{-\infty}^{12}{f(t)\ dx}

Die Wahrscheinlichkeit für P\ (X\le\ 12) entspricht dem Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x gleich zwölf.

P\left(X\le12\right)=F(12)

Soweit ist das ja alles sehr einfach, oder?

Berechnung der Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Intervalls

Aber wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass der Läufer zum Beispiel zwischen 11 und 12 Sekunden braucht?

P\left(11\ <\ X\le12\right)=\int_{11}^{12}f\left(t\right)dt

Auch das ist keine Hexerei. Du ziehst einfach den Funktionswert der Verteilungsfunktion an der Stelle x gleich elf von dem Funktionswert an der Stelle x gleich zwölf ab.

P\left(11\ <\ X\le12\right)\ =\ F(12)\ -\ F(11)

Das wird besonders deutlich, wenn du dir das Ganze graphisch unter der Dichtefunktion vorstellst.

Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
Berechnung der Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Intervalls

Super! Das wars erstmal zur stetigen Dichte- und Verteilungsfunktion. Die Theorie ist immer die gleiche, also wirst du keine Probleme mehr haben, Aufgaben in der Praxis zu berechnen.


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