Statistik Wahrscheinlichkeit

Unabhängigkeit von Ereignissen

Du möchtest wissen, was es bedeutet, wenn zwei Ereignisse unabhängig voneinander sind? Dann bleib dran!

Fehlender Zusammenhang zwischen dem Eintritt zweier Ereignisse

Ein Ereignis A nennt man unabhängig von einem Ereignis B, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keine Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses hat. Zum Beispiel hängt die Wahrscheinlichkeit, dass jemand blaue Augen hat, nicht mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, dass diese Person die Klausur in Statistik besteht.

Der Einritt von Ereignis A ist unabhängig von Ereignis B

Mathematisch ausgedrückt gilt bei unabhängigen Ereignissen folgendes:

P(A|B)=P(A)\ oder\ P(B|A)=P(B)

Formel für abhängige und unabhängige Ereignisse

Die bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht also genau der unbedingten Wahrscheinlichkeit. Das ist ja auch logisch, da das Eintreten von B per Definition keinen Einfluss auf das Eintreten von A hat und umgekehrt. Unter dieser Voraussetzung gilt auch folgendes:

P(A\cap B)=P(A)\ast P(B)

Aber Achtung! Das gilt eben nur bei unabhängigen Ereignissen. Sind die Ereignisse abhängig, musst du folgende Formel verwenden:

P(A\cap B)=P(A|B)\ast P(B)

Unabhängigkeit im Baumdiagramm

Wenn du dir unter Unabhängigkeit von Ereignissen noch nichts vorstellen kannst, dann kannst du sie dir auch in einem Baumdiagramm veranschaulichen. Dieses würde so aussehen:

Veranschaulichung im Wahrscheinlichkeitsbaum

Berechnung anhand eines Beispiels

Schauen wir uns jetzt noch ein passendes Beispiel zur Thematik an. Stell dir vor, ein Würfel wird einmal geworfen. Als Ereignis A legen wir „Ungerade Augenzahl“ und als Ereignis B „Augenzahl kleiner 5“ fest. Jetzt sollst du bestimmen, ob die Ereignisse A und B voneinander abhängig oder unabhängig sind.

Berechnung ob Ereignis A und Ereignis B (un)abhängig voneinander sind

Zuerst müssen wir die Wahrscheinlichkeit für die beiden Ereignisse bestimmen. Da das Ereignis A drei Elemente umfasst und das Ergebnis B vier, ergibt sich jeweils eine Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{2} bzw. \frac{2}{3}.

A={1;3;5}

B={1,2,3,4}

P(A)=\frac{1}{2}

P(B)=\frac{2}{3}

Als nächstes müssen wir uns überlegen, wie viele Elemente die Schnittmenge von A und B umfasst, also wie viele Elemente sowohl in A als auch in B vorkommen. Das sind die Zahlen 1 und 3.

Dementsprechend ergibt sich für die Schnittmenge von A und B eine Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{3}.

P(A\cap B)=\frac{1}{3}

Jetzt können wir mit der Formel von vorhin einfach überprüfen, ob die Ereignisse voneinander abhängig sind oder nicht. Für unabhängige Ereignisse muss gelten:

P(A\cap B)=P(A)*P(B)

In unserem Fall also:

P(A)*P(B)=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=\frac{1}{3}=P(A\cap B)

Die Ereignisse A und B sind also statistisch voneinander unabhängig.

Stochastische und kausale Abhängigkeit

Abschließend ist es noch wichtig darauf hinzuweisen, dass stochastische Abhängigkeit nicht das gleiche wie kausale Abhängigkeit ist, die du vielleicht aus deinem Alltag kennst.

Stochastische Abhängigkeit ist nicht gleich kausale Abhängigkeit

Zwei Ereignisse können nämlich stochastisch abhängig sein, auch wenn sie in Ursache und Wirkung in keiner Beziehung zueinander stehen. Hier findest noch einmal die Formeln, die im Zusammenhang mit unabhängigen Ereignissen wichtig sind:

Für unabhängige Ereignisse gilt:

P(A|B)=P(A)\ oder\ P(B|A)=P(B)

P(A\cap B)=P(A)\ast P(B)

Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.

Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.

Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.

Danke!
Dein Studyflix-Team

Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung.