Deskriptive Statistik

Varianz und Standardabweichung

Du willst mehr als nur den Mittelwert deiner Datenmenge bestimmen?
Hier zeigen wir dir, wie du mehr Informationen aus deinen Daten erhalten kannst!

Berechnung der Varianz und der Standardabweichung

Bevor wir dir erklären, wie man die Varianz berechnet, stellt sich erstmal die Frage, was sie überhaupt aussagt. Die Varianz ist ein Maß, das die Streuung der Daten um den Mittelwert angibt – also wie weit die einzelnen Werte vom Durchschnitt entfernt liegen. Das ist dir zu abstrakt? Dann stell dir folgendes Beispiel vor:
Du hast zwei verschiedene Glücksspiele: Beim Ersten kannst du entweder 100€ gewinnen oder 100€ verlieren, beim Zweiten genau einen Euro gewinnen, beziehungsweise verlieren. Obwohl beide Glücksspiele genau den gleichen Erwartungswert, nämlich 0, haben, ist ihre Varianz ganz unterschiedlich.

Varianz
Das Glücksspiel als Beispiel für die Varianz

Das ist auch logisch, schließlich liegen 100€ sehr viel weiter von null Euro entfernt als ein Euro.

Formel zur Varianzberechnung

Um die Varianz auch in der Praxis berechnen zu können, benötigst du folgende Formel:

{\bar{s}}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\mu)}^2

Du quadrierst also die Summe der Differenzen der einzelnen Werte und dem Erwartungswert und teilst das alles anschließend durch die Anzahl der Werte in deiner Datenmenge. Da sich aber, wie du siehst, in der Formel eine Differenz befindet, ist ihre Berechnung nur für kardinalskalierte Daten möglich.
In der Statistik wird allerdings häufig mit sehr großen Datenmengen gerechnet, so dass es uns oft nicht möglich ist alle Werte zu erfassen, beziehungsweise zu berücksichtigen. Gerade bei der Berechnung per Taschenrechner wird es bei vielen Werten sehr schnell unübersichtlich. Deshalb arbeiten wir oft mit Stichproben. In solch einem Fall benutzt man aber eine andere Formel:

s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2

Die Unterschiede sind gering, dürfen aber keinesfalls übersehen werden. Wir teilen jetzt nicht mehr durch n, sondern durch n minus 1 und tauschen den Erwartungswert mu gegen das sogenannte Stichprobenmittel, also den Mittelwert der Stichprobe. Merk‘ dir, je größer deine Stichprobe ist, desto genauer ist deine berechnete Varianz.

Formel zur Standardabweichung

Weil wir unsere Werte bei der Berechnung der Varianz quadrieren, ist eine Interpretation des Ergebnisses sehr schwer. Dafür gibt es die Standardabweichung. Sie ist die Wurzel der Varianz und ermöglicht uns genaue Aussagen.

\bar{s}=\sqrt{{\bar{s}}^2} bzw s=\sqrt{s^2}

Beispielrechnung

Zum Schluss rechnen wir mit dir noch ein Beispiel: Hierzu nehmen wir unseren Datensatz aus dem Video Mittelwert, Median und Modus, der einen Erwartungswert von 3,2 hat.
Das setzen wir in unsere Formel ein und erhalten eine Varianz von 3,76:

Berechnung der Varianz anhand eines Beispiels

Nun schauen wir uns noch die Standardabweichung an. Es ergibt sich: 1,94

\bar{s}=\sqrt{{3,76}^2}\approx1,94

Du weißt nun, wie du die Varianz und die Standardabweichung berechnest. Vergiss nicht zwischen den beiden verschiedenen Formeln zu unterscheiden, je nachdem ob du eine Vollerhebung oder eine Stichprobe betrachtest.

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