Wahrscheinlichkeitsrechnung

Venn Diagramm

Inhaltsübersicht

Hier erhältst du eine Anwort auf die Fragen: Was ist ein Venn Diagramm und wie kann ich ein Venn Diagramm erstellen? Dieser Artikel erklärt dir alles zu diesem Mengendiagramm aus der Mengenlehre an einem anschaulichen Beispiel.

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Venn Diagramm Erklärung

Ein Venn Diagramm dient zur graphischen Dartellung zweier Mengen innerhalb der Mengenlehre. Mit diesem Mengendiagramm lassen sich Mengenbeziehungen wie Schnittmengen veranschaulichen.

 

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Venn Diagramm

Venn Diagramme werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung  folglich dazu verwendet, Zusammenhänge zwischen verschiedenen Ereignissen abzubilden. Außerdem kann man so verschiedene Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr einfach veranschaulichen.

Venn Diagramm erstellen

Dazu zeichnet man sich überlappende Kreise, um logische Beziehungen zwischen zwei oder mehr Mengen zu visualisieren.  Das Rechteck steht dabei für den Raum aller Mengen, auch Grundmenge oder Grundgesamtheit genannt. Die beiden Kreise A und B stehen für zwei bestimmte Ergebnismengen. Am besten veranschaulichen wir uns das Ganze gleich anhand eines Beispiels und erstellen ein Venn Diagramm. Stell dir vor, du wirfst einen Würfel. Die Ergebnismenge A beinhaltet alle geraden Zahlen und die Ergebnismenge B beinhaltet alle Zahlen von 4 bis 6. Die Zahlen 1 und 3 schließlich sind weder in A noch in B enthalten.

Diese Mengen können wir nun in das Venn Diagramm eintragen. Das sieht dann so aus:

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Venn Diagramm Beispiel

Venn Diagramm Beispiele

Je nach Aufgabenstellung muss man eine andere Menge zeichnen. Der so genannte Mengenoperator, oder auch einfach nur Operator, gibt einem dabei erste Hinweise. Durch ihn weiß man, ob nach einer Schnittmenge, einer disjunkten Menge oder einer anderen Kombination der Ergebnismengen gefragt ist. Im Folgenden findest du einen Überblick über die Operatoren und die dazugehörigen Mengen.

Venn Diagramm Schnittmenge

Du siehst also, mit Hilfe des Venn Diagramms kannst du auch sehr einfach Schnittmengen zwischen zwei Ergebnismengen veranschaulichen. Um diese Schnittmenge formal auszudrücken, schreibt man A\ \cap B. Das Zeichen, das die beiden Mengen verbindet wird auch „Und-Operator“ genannt. In unserem Fall sind in der Schnittmenge „A geschnitten B“ die Zahlen 4 und 6 enthalten. Als nächsten Schritt werden wir diese Schnittmenge zeichnen. In der Grafik lässt sich das wie folgt darstellen:

Venn-Diagramm
„Und“-Operator

Keine Beziehung zwischen den Mengen

Die Ergebnismengen können auch keine Beziehung zueinander haben. Beispielsweise spiegelt A_1 die Menge aller weiblichen Studenten einer Universität wider und A_2 die Menge aller männlichen Studenten. In diesem Fall handelt es sich beo  A_1 und A_2 um disjunkte Mengen. Das Venn Diagramm sieht dann so aus:

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disjunkte Menge

Weitere Mengenoperationen

Neben dem „Und-Operator“ gibt es auch einen „Oder-Operator“. Dieser beinhaltet alle Ergebnisse, die entweder in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind. In unserem Beispiel gilt also:

Venn-Diagramm
„Oder“-Operator

 

Außerdem gibt es auch noch einen „Nicht-Operator“ – auch Komplement genannt. Dieser wird entweder durch einen Querstrich über der Ergebnismenge abgebildet oder durch ein hochgestelltes c. Wenn wir also die gesamte Menge an Ergebnissen, außer die Ergebnisse der Menge A abbilden wollen, erhalten wir:

Venn-Diagramm
„Nicht“-Operator

 

Schließlich ist es noch möglich, die Differenz zweier Mengen zu bilden. Wenn wir also die Menge A abzüglich der Menge B abbilden wollen, sieht das im Mengendiagramm so aus:

Venn-Diagramm
Differenz zweier Mengen

Mengenlehre einfach erklärt

Allgemein werden Mengendiagramme wie das Venn Diagramm also dazu verwendet, um Sachverhalte der Mengenlehre bildlich zu visualisieren. Dabei eignen sie sich jedoch lediglich zur übersichtlichen Darstellung, nicht aber als mathematisches Beweismittel. Das bekannteste Mengendiagramm ist das Venn Diagramm. Aber auch das Euler Diagramm wird häufig verwendet, um Mengenbeziehungen zu verdeutlichen.

Mengendiagramm

Forschungen zufolge gehen die Ursprünge von Mengendiagrammen weit zurück. Bereits im 13. Jahrhundert verwendete der Philosoph und Logiker Ramon Llull wohl erste derartige Diagramme in der Mengenlehre. Später im 18. Jahrhundert erfand dann der Schweizer Mathematiker Leonard Euler das, was heute als Euler Diagramm bezeichnet wird – den direkten Vorgänger zum Venn Diagramm.

Den Namen haben die Venn Diagramme vom britischen Logiker John Venn angenommen. Er erwähnte die Diagramme erstmals in seinem Artikel „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propostistions and Reasonings“, welches 1880 im Journal of Science und im Philosophical Magazine erschien.

Mengenlehre Venn Diagramm

Das waren auch schon die wichtigsten Eigenschaften von Venn Diagrammen. Zum Abschluss findest du hier nochmal eine Zusammenfassung der wichtigsten Operatoren:

„Und-Operator“: A\ \cap B
„Oder-Operator“: A\cup B
„Nicht-Operator“: \bar{A\ } oder A^c\bigm

Differenz zweier Mengen: A\setminus B


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