Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zentraler Grenzwertsatz

Inhaltsübersicht

Dieser Artikel befasst sich mit dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik. Nach einer knappen Definition folgen die Punkte zentraler Grenzwertsatz einfach erklärt und zentraler Grenzwertsatz Beispiel.

Dein Wissen zu unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ist eher grenzwertig? Keine Sorge, unser Video wird dich in wenigen Sätzen ohne Leseaufwand mit zentralen Informationen versorgen.

Zentraler Grenzwertsatz Statistik

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass sich der Mittelwert und die Summe unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen bei einer beliebigen Verteilung mit zunehmenden Stichprobenumfang der Normalverteilung annähern.

Oder mathematisch ausgedrückt:

Zentraler Grenzwertsatz, Grenzwertsatz, unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariable, Normalverteilung
Zentraler Grenzwertsatz Formel

Zentraler Grenzwertsatz einfach erklärt

Hä, du hast gerade absolut gar nichts verstanden? Keine Sorge, so geht es den meisten, deshalb ist hier nochmal eine Erklärung für Normalsterbliche:

Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt das Phänomen, dass reale zufällige Prozesse in ihrer Summe häufig glockenförmige Verteilungen aufweisen. So sind zum Beispiel Wachstumsprozesse, wie die Körpergröße aller Männer oder Messvorgänge, wie beispielsweise die Sprungweite von Kängurus, immer normalverteilt.

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Zentraler Grenzwertsatz einfach erklärt

Zentraler Grenzwertsatz Normalverteilung

Hast du also das Prinzip des zentralen Grenzwertsatzes verstanden, kannst du die Wahrscheinlichkeiten unbekannter Verteilungen approximativ anhand der Normalverteilung berechnen. Dadurch wird auch klar, warum diese die wichtigste Verteilung der Statistik darstellt. Sie ist schließlich Grundlage der meisten anderen Verteilungen.

Zentraler Grenzwertsatz Anwendung

Einzige Voraussetzung für den zentralen Grenzwert ist, dass du einen Stichprobenumfang n größer als 30 hast. Denn je größer dein n ist, desto besser nähert sich dein Grenzwert der Normalverteilung an. Bei allen Verteilungen mit einem n kleiner gleich 30, wäre die Annäherung an die Normalverteilung einfach zu schlecht.

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Zentraler Grenzwertsatz Anwendung

Zentraler Grenzwertsatz Beispiel

Der zentrale Grenzwertsatz lässt sich sehr gut durch das Werfen eines Würfels verdeutlichen. Unsere Zufallsvariable soll hier die Augensumme nach mehrmaligem Würfeln sein. Werfen wir den Würfel also zweimal, können Augensummen zwischen zwei, also zweimal die eins, oder zwölf, also zweimal die sechs entstehen. Wir haben hier insgesamt 6 * 6, also 36 mögliche Würfelkonstellationen.

Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz Aufgaben

Die sieben beispielsweise kannst du durch sechs verschiedene Varianten erhalten:

1 & 6, 2 & 5, 3 & 4, 4 & 3, 5 & 2, 6 & 1

Sie kommt somit am häufigsten vor.

Die zugehörige Verteilung sieht dann so aus:

Zentraler Grenzwertsatz, glockenförmig, Normalverteilung, Aufgaben
Zentraler Grenzwertsatz Beispiel

Hm, bisher kann man die Glockenkurve der Normalverteilung irgendwie nur erahnen. Würfelst du jetzt aber nicht nur zweimal, sondern viermal, hast du schon 1296 Möglichkeiten und das Resultat ähnelt der Normalverteilung deutlich stärker.

 


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