Ableitung ln
Ln-Funktionen sind Logarithmusfunktionen mit der Basis e. Wie du davon die Ableitung bildest, erfährst du hier und im Video!
Inhaltsübersicht
Ableitung ln einfach erklärt
Die Ableitung vom natürlichen Logarithmus ln(x) kannst du dir ganz leicht merken:
![\[f(x)=\ln(\textcolor{blue}{x}) \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{\textcolor{blue}{x}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f7782a66b36ff8e51add9de24805007_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beispielsweise wäre die Ableitung der Funktion f(x) = ln(4) der Bruch 
.
Du kannst die Ableitung von f(x) = ln(x) auch herleiten. Dafür brauchst du den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion g(x). Es gilt nämlich folgende Formel: f’(x) = 
.
Die Umkehrfunktion von f(x) = ln(x) ist g(x) = ex. Setzt du das in die Formel ein, folgt daraus:
f’(x) = 
.
Ableitung von ln(x) — Beispiel 1
Oft ist vor der Funktion ln(x) noch eine Zahl oder ein weiterer Term in der Klammer. Für solche komplexeren ln-Funktionen brauchst du die Kettenregel. Schauen wir uns das an ein paar Beispielen genauer an.
Du hast z. B. folgende Funktion gegeben:
f(x) = ln(2x2 + 3)
Um diese mithilfe der Kettenregel abzuleiten, teilst du die ln-Funktion in eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u(x) bzw. u(v):
v(x) = 2x2 + 3
u(v) = ln(v)
Wichtig: Da es sich um eine verkettete Funktion handelt, „umschließt“ die äußere Funktion u(x) die innere Funktion v(x). Du schreibst deshalb für die äußere auch u(v).
Anschließend bildest du von beiden Teilfunktionen jeweils die Ableitung:
v(x) = 2x2 + 3 → v’(x) = 4x
u(v) = ln(v) → u’(v) = 
Um die Ableitung der gesamten ln-Funktion f(x) zu bestimmen, multiplizierst du die Ableitungen der inneren und äußeren Funktion:
Statt die Ableitungen der Teilfunktionen immer zu multiplizieren, kannst du dir auch folgende Formel für die Ableitung komplexerer ln-Funktionen merken:
Ableitung von ln(x) — Beispiel 2
Schau dir noch ein weiteres Beispiel zur Ableitung des natürlichen Logarithmus an:
f(x) = 5 • ln(x2 + x)
Auch hier bestimmst du wieder innere und äußere Funktion:
v(x) = x2 + x → v’(x) = 2x + 1
u(v) = 5 • ln(v) → u’(v) = 5 •
Multipliziere die beiden Ableitungen miteinander und du erhältst folgende Ableitung f’(x):
Ableitung von ln(x) — Beispiel 3
Der natürliche Logarithmus kann dir auch in einem Bruch begegnen:
Um in diesem Beispiel ln abzuleiten, erhältst du folgende Funktionen als innere und äußere Funktion:
v(x) = 4x + 2 → v’(x) = 4
u(v) = 
→ u’(v) = 
Für die Ableitung der ln-Funktion ergibt das:
Sind mehrere ln-Funktionen durch ein Plus oder Minus verknüpft, verwendest du die Summen- und die Differenzregel
zum Ableiten. Das heißt, du leitest die einzelnen ln-Funktionen ab und verbindest sie anschließend wieder mit + oder –
Zum Beispiel: f(x) = ln(3x) + ln(x) → f’(x) = 
+ 
Ableitung ln — häufigste Fragen
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Was ist die Ableitung von ln?
Die Ableitung der ln-Funktion f(x) = ln(x) ist f’(x) = 1/x.
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Was ist die Ableitung von ln(x)?
Die Ableitung vom natürlichen Logarithmus f(x) = ln(x) ist f’(x) = 1/x.
Wurzeln ableiten
Perfekt! Jetzt weißt du, wie du verschiedene ln-Funktionen richtig ableitest. In einer Funktion kann dir aber auch eine Wurzel begegnen. Wie du Wurzeln ableitest, erklären wir dir in diesem Video!
Weitere Funktionen und ihre Ableitungen
Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können:
| Funktion | Ableitung | |
| Ableitung Cosinus |  |
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| Ableitung Sinus |  |
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| Ableitung Tangens |  |
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| e Funktion ableiten |  |
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