Messtechnik

Systematische Abweichungen – Übung

Systematische Abweichungen sind für dich wie ein Labyrinth aus Formeln und Rechenregeln? In diesem Video bringen wir Ordnung in dieses Chaos.

Die relative und die absolute Abweichung

Im letzten Artikel hast du bereits gelernt wie man die relative und absolute Abweichung berechnet. Dabei musst du noch drei Rechenregeln beachten. Um diese aufzustellen, schauen wir uns drei Beispiele an. Zur Erinnerung: die absolute Abweichung ist definiert als ∆ xi und die relative Abweichung als  \frac{\Delta x_i}{x_i}
Nun können wir anhand dieser Berechnungen drei Rechenregeln aufstellen:

  1. Bei der Addition werden die absoluten Abweichungen addiert
  2. Bei der Multiplikation werden die relativen Abweichungen addiert
  3. Beim Potenzieren wird die relative Abweichung mit dem Exponenten multipliziert.
Rechenregeln Systematische Abweichungen
Drei Rechenregeln

In unseren Rechnungen sind x1 und x2 Einzelmessgrößen. Wenn wir mehrere Einzelmessgrößen vorliegen haben, ist es geschickter sie als eine Funktion darzustellen: y=f(x1,x2,x3,…). Wieso das so ist, werden wir dir später anhand eines Beispiels erklären.

Absolute Abweichung

Die gesamte absolute Abweichung lässt sich durch diese Formel berechnen:

Formel absolute Abweichung
Formel absolute Abweichung

Sie ist ganz leicht zu erklären. Du kennst bestimmt die Schreibweise \frac{d}{dx}. Genau das gleiche steht auch in der Formel, nur dass das griechische Alphabet verwendet wurde. Hier wird erst die Ableitung nach x1 gebildet, diese dann mit der Ableitung nach x2 addiert und so weiter. Wie du schon sehen kannst, handelt es sich um eine Reihe und bei den Ableitungen um die Partielle Ableitung. Man spricht dabei auch von einer Taylor-Reihe, mit der versucht wird sich möglichst nah an die absolute Abweichung anzunähern.

Beispiel

Nun wollen wir diese Formel anhand eines Beispiels vertiefen: Du sollst die Erdbeschleunigung g und die relative Abweichung \frac{\Delta g}{g} aus einem Pendelversuch bestimmen. Dabei ist dir diese Formel gegeben:

Beispiel Erdbeschleunigung
Beispiel: Erdbeschleunigung

So, schauen wir uns an, wie du das lösen kannst. Wie du schon siehst, ist in dieser Formel g enthalten, d.h. die Gleichung lässt sich umformen nach g. g können wir auch als eine Funktion ansehen, die von L und t abhängig ist: f(l,t). Du solltest immer in eine Funktion umschreiben, denn so kannst du die Fehlerfortpflanzung leichter berechnen. Wie du nämlich bereits gesehen hast, muss bei der Reihe auch partiell differenziert werden. In unserem Fall können wir F einmal nach L und einmal nach t ableiten. Eingesetzt in die Funktion, erhältst du die absolute Abweichung.
Nun hast du alles, was du brauchst. Das können wir jetzt in die Relative Abweichung einsetzen und erhalten:

\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta l}{l}-2\times\frac{\Delta t}{t}

Relative Abweichung  Systematische Abweichungen
Relative Abweichung

Aus dem Messergebnis können wir ablesen, wie die relative Abweichung bei einem Pendelversuch bei der Berechnung der Erdbeschleunigung definiert ist. Aber achte darauf, dass du die Zeit nicht vernachlässigst, denn sie spielt in unserem Fall die doppelte Rolle.

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