Materialwissenschaften

Clausius-Clapeyron-Gleichung

Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wurde von Benoit Clapeyron entwickelt und später von Rudolf Clausius weiterentwickelt. Mit Hilfe der Claudius-Clapeyron-Gleichung lassen sich Kurvenverläufe in Phasendiagrammen berechnen. In diesem Beitrag lernst du, wie du die Claudius-Clapeyron-Gleichung anwendest.

Clapeyron-Gleichung Herleitung und Ableitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung aus der Clapeyron-Gleichung

Das wohl bekannteste aller Phasendiagramme ist das des Wassers. Neben den drei Phasen, fest, flüssig und gasförmig, existieren auch drei Kurven, die die Phasenübergänge markieren: die Sublimations-, die Schmelz- und die Dampfdruckkurve. Um einen Ansatz zu erstellen, der uns später eine Berechnung zu einer dieser Kurven ermöglicht, wenden wir uns zuerst der Clapeyron-Gleichung zu. Die Überlegung dabei ist, dass die chemischen Potentiale beider beteiligter Phasen entlang der Phasengrenzen im Gleichgewicht sind.

\mu_a\left(p,T\right)=\mu_b\left(p,T\right)

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clapeyron-Gleichung

Wanderst du zum Beispiel die Dampfdruckkurve entlang, wären die beiden beteiligten Phasen a und b hier die Flüssige und die Gasförmige. Die Potentiale hängen von Temperatur und Druck ab und heißen klein Mü.

Auch wenn sich Druck und Temperatur nur minimal ändern, gilt die Gleichung immer entlang der Kurven. Um jetzt herauszufinden, wie wir die Steigung der Phasengrenzlinien beschreiben können, verwenden wir eine altbekannte mathematische Schreibweise: Die Funktion d P nach d T:

dp/dT

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clapeyron-Gleichung

Das bedeutet, dass entlang der Phasenübergänge nicht nur die chemischen Potentiale gleichbleiben, sondern auch ihre Veränderungen. Deshalb lautet unsere zweite Formel:

{d\mu}_a={d\mu}_b

Herleitung der Clapeyron-Gleichung in 4 Schritten

Wenn wir uns an die Grundgleichungen der Thermodynamik erinnern, lässt sich die Änderung von Mü durch folgende Gleichung beschreiben:

d\mu=-S_mdT+V_mdp

Das S steht für die Entropie und das V für Volumen. Im Index steht das kleine m für molar.

1.Schritt: Einsetzen 

Das kannst du ganz einfach in {d\mu}_a={d\mu}_b einsetzen:

 -S_{a,m}dT+V_{a,m}dp=-S_{b,m}dT+V_{b,m}dp

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clapeyron Gleichung

2.Schritt: Sortieren

Und anschließend sortieren:

  -S_{a,m}dT+S_{b,m}dT=+V_{b,m}dp-V_{a,m}dp

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clapeyron-Gleichung

3.Schritt: Ausklammern

Dann noch links dT und rechts dp ausklammern und fertig:

(-S_{a,m}+S_{b,m})dT=(+V_{b,m}-V_{a,m})dp

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clapeyron-Gleichung

Super, jetzt können wir so umstellen, dass sich für unser d p nach d t die Differenz der Entropie durch die Differenz des Volumens ergibt:

4.Schritt: Umstellen

\frac{dp}{dT}=\frac{\Delta S_{m}}{\Delta V_{m}}

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clapeyron-Gleichung

Und siehe da, schon hast du die Clapeyron-Gleichung hergeleitet! Das Besondere an dieser Gleichung ist, dass sie für jedes Phasengleichgewicht eines reinen Stoffes gilt!

Clausius-Clapeyron-Gleichung Herleitung aus der Clapeyron-Gleichung

Nun kommt der zweite Teil: der Weg zur Clausius-Clapeyron-Gleichung.

Vorgänge, die man umkehren kann, nennt man reversibel. Die Entropie lässt sich dabei aus derjenigen Wärmemenge berechnen, die umgesetzt wird. Wir nennen sie Q_{rev}. Bleibt der Druck währenddessen gleich, spricht man von einem isobaren Vorgang und die Wärmemenge entspricht der Änderung der molaren Enthalpie \Delta H. \Delta S_{m} entspricht also der Wärmemenge durch die Temperatur beziehungsweise der Änderung der molaren Enthalpie durch die Temperatur.

\Delta S_{m}=\frac{Q_{rev}}{T}=\frac{\Delta H}{T}

Clausius-Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron
Clausius-Clapeyron-Gleichung

Damit gelangen wir direkt zur Clausius-Clapeyron Gleichung, die ein Sonderfall der Clapeyron-Gleichung ist. Diese erlaubt uns eine Berechnung für den Verlauf der Phasengrenze zwischen flüssiger und gasförmiger Phase aufzustellen. In der thermodynamisch korrekten Version lautet sie:

\frac{dp}{dT}=\frac{\Delta H_{m,v}}{\Delta V_{m,v}*T}

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clausius-Clapeyron-Gleichung

Abgewandelte Form der Clausius-Clapeyron Gleichung

Normalerweise nutzt man aber eine leicht abgewandelte Form,

\frac{1}{p}dp=\frac{\Delta H_{m,v}}{R*T^2}dT

weil das molare Volumen eines Gases das der Flüssigkeit meist deutlich übersteigt. In dieser Gleichung wird die eigentliche Differenz \Delta V der beiden Volumina, durch das des Gases ersetzt. Außerdem wird ein ideales Gas für die gasförmige Phase angenommen, dessen molares Volumen folgende Zustandsgleichung erfüllt:

V_{m(g)}=\frac{RT}{p}

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clausius-Clapeyron-Gleichung

Das R steht hierbei für eine universelle Gaskonstante mit dem Wert R = 8,314462 J mol -1 K -1

Integrierte Form der Clausius-Clapeyron-Gleichung

Außerdem gibt es die sogenannte integrierte Form der Clausius-Clapeyron-Gleichung. Diese ermöglicht es einen gegebenen Sättigungsdampfdruck p1 und eine Temperatur T1 mit zwei weiteren Werten p2 und T2 an einem anderen Punkt der Dampfdruckkurve zu vergleichen beziehungsweise zu errechnen.

ln\frac{p_2}{p_1}=\frac{\Delta H_{m,v}}{R}*( \frac{1}{T1}-\frac{1}{T_{2}})

Clapeyron-Gleichung, Clausius-Clapeyron-Gleichung
Clausius-Clapeyron-Gleichung

Mit ihr hast du nun auch die letzte der drei wichtigen Versionen der Clausius Clapeyron-Gleichung kennengelernt. Falls dir also ihre Herleitung über die Clapeyron-Gleichung in einer Aufgabe begegnen sollte, kannst du diese Schritt für Schritt erklären und anschließend die Werte berechnen.


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