Bragg Gleichung
Du möchtest wissen, was die Bragg Gleichung ist und wie die Bragg Bedingung lautet? Dann schau dir unseren Beitrag oder das Video an.
Inhaltsübersicht
Bragg Gleichung einfach erklärt
Mit der Bragg Gleichung, die du auch Bragg Bedingung nennst, kannst du die spezielle Reflexion von elektromagnetischen Strahlen an einem Kristall beschreiben.
Denn an Kristallen werden zum Beispiel Röntgenstrahlen nur teilweise reflektiert. Das passiert nur dann, wenn die Strahlung in ganz bestimmten Winkeln auf den Kristall trifft. Die bestimmten Winkel nennst du auch Glanzwinkel.
Beim Glanzwinkel kannst du dann eine Reflexion der Röntgenstrahlen erkennen, weil sich die Strahlen gegenseitig verstärken (konstruktive Interferenz). Bei anderen Winkeln können sie sich auch gegenseitig auslöschen oder abschwächen (destruktive Interferenz), dann kannst du keine Reflexion beobachten.
Die Bragg Bedingung beschreibt, wann eine gegenseitige Verstärkung und somit eine Reflexion der Strahlung auftritt. Sie bildet den Zusammenhang zwischen dem Glanzwinkel θ, der Wellenlänge λ und dem Abstand d des Kristallgitters. In der Bragg Gleichung steht n für eine natürliche Zahl. Sie gibt die Ordnung des Glanzwinkels an.
n • λ = 2 • d • sin θ
Reflexion Röntgenstrahlen an einer Kristall Gitterebene
Um die Bragg Reflexion zu zeigen, sind Kristalle wie Natriumchlorid gut geeignet. Sie bestehen aus Atomen, die auf parallelen Ebenen angeordnet sind. Die einzelnen Ebenen im Kristall nennst du auch Gitterebenen. Betrachten wir die Reflexion von Röntgenstrahlung an einer Gitterebene.
Treffen zwei Röntgenstrahlen auf eine Gitterebene eines Kristalls, werden sie an den Gitteratomen reflektiert.
Durch die Ablenkung an Kristallatomen in der gleichen Ebene legen die zwei Wellen auch den gleichen Weg zurück. Die Röntgenstrahlen haben also keinen Wegunterschied und verlaufen auch nach der Reflexion in gleicher Phase. Hier ist es also egal, in welchem Winkel die Strahlen auf den Kristall treffen. Die Strahlen werden hier entsprechend dem Reflexionsgesetz abgelenkt, also Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel.
Reflexion Röntgenstrahlen an zwei Kristall Gitterebenen
Ein Teil der Röntgenstrahlen wird aber nicht direkt an der ersten Gitterebene reflektiert, sondern dringt in den Kristall ein. Sie werden dann an tieferliegenden Gitterebenen reflektiert.
Nehmen wir an, dass die Röntgenstrahlen phasengleich auf den Kristall treffen. Das heißt, dass jeweils Wellenberg neben Wellenberg und Wellental neben Wellental zweier Wellen verläuft. Sie treffen jetzt jeweils auf unterschiedliche Gitterebenen. Dort werden sie an Kristallatomen reflektiert. Dadurch besitzen die beiden Strahlen unterschiedlich lange Wegstrecken. Die Wellen verlaufen nach der Reflexion also mit einem gewissen Gangunterschied.
Der Gangunterschied ist der Grund, dass die beiden Wellen nach der Reflexion nicht mehr in gleicher Phase laufen und ist damit Voraussetzung für die Interferenz der Wellen. Er ist abhängig vom Abstand d der Gitterebenen und vom Einfallswinkel θ der Wellen.
- Ist der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, kommt es zur konstruktiven Interferenz.
- Ist der Gangunterschied kein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ, kommt es zur destruktiven Interferenz.
Der Glanzwinkel ist also definiert als der Winkel, bei welchem der Gangunterschied genau einem Vielfachen n der Wellenlänge λ entspricht. Dann entsteht eine konstruktive Interferenz der Strahlung und du kannst eine Reflexion erkennen. Bei welchem Glanzwinkel das passiert, ist über die Bragg Gleichung beschrieben.
Bragg Gleichung Herleitung
Grund für die spezielle Reflexion ist die Interferenz der Wellen. Sie ist vom Gangunterschied der beiden Wellen abhängig. Zur Herleitung der Bragg Gleichung betrachtest du zwei parallel einfallende Röntgenstrahlen mit den Wellenlängen λ, die auf jeweils ein Atom auf zwei unterschiedlichen Gitterebenen im Abstand d treffen.
Die beiden Strahlen treffen im gleichen Einfallswinkel θ auf den Kristall. Während ein Strahl von der oberen Gitterebene reflektiert wird, wird der andere Strahl von der unteren Gitterebene reflektiert. Unter Verwendung trigonometrischer Funktionen kannst du mit dem Einfallswinkel θ in der Bragg Bedingung folgende Beziehung aufstellen:
![\[\sin{\theta}=\frac{\delta}{d} \Leftrightarrow\delta=d\cdot \sin{\theta}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb5d9efac3daa68c0e4602d099771881_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der untere Strahl muss aber zweimal die Strecke δ zurücklegen. Beim Einfallen und beim Ausfallen. Dadurch berechnest du den Gangunterschied durch:
2 δ = 2d · sin(θ)
Die Wellen interferieren konstruktiv, wenn der Gangunterschied 2 δ ein ganzzahliges Vielfaches n (n∈N) der Wellenlänge λ ist:
![\[n \cdot \lambda = 2 \cdot \delta\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-734118193b6144c5093b31d092e7812e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Setzt du jetzt den gesamten Gangunterschied in die Gleichung ein, erhältst du die Bragg Gleichung:
![\[n\cdot\lambda=2\cdot d\cdot\sin{\theta}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66046e21d2935a8503404c0e62d8eada_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bragg Bedingung
Die Bragg Bedingung oder Bragg Gleichung gibt den Zusammenhang an, bei welchem es bei elektromagnetischen Wellen einer bestimmten Wellenlänge an einem Kristall zur Reflexion kommt. Der Einfallswinkel, genannt Glanzwinkel, ist dabei von der Wellenlänge und dem Aufbau des Kristalls abhängig.
Die Bragg Bedingung beschreibt den Glanzwinkel θ in Abhängigkeit der Wellenlänge λ, dem Abstand d der einzelnen Gitterebenen und der Ordnung n des Glanzwinkels.
Drehkristallmethode
Die Drehkristallmethode verwendest du, um den Gitterabstand d eines Kristalls zu bestimmen. Hierfür strahlst du Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge λ auf einen drehbaren Kristall. Je nach Einfallswinkel α zwischen dem Röntgenstrahl und den Gitterebenen des Kristalls interferieren die reflektierten Röntgenstrahlen destruktiv oder konstruktiv.
Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn der Gangunterschied der Röntgenstrahlen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Misst du die reflektierte Strahlung mit einem Detektor, so erhältst du eine Messkurve der Intensität in Abhängigkeit des Winkels α. Bei konstruktiver Interferenz ist die Intensität maximal und bei destruktiver Interferenz null.
Aus der Messkurve lassen sich nun die Winkel mit maximaler Intensität ablesen, die gerade dem Glanzwinkel θ entsprechen. Somit kann unter Verwendung der Bragg Gleichung der Gitterabstand d des Kristalls bestimmt werden.
![\[d=\frac{n\cdot\lambda}{2\cdot \sin{\theta_{\text{G}}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6c484842abf9209c398f6e2b46afbd6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Doppelspalt
Grundlage für die Bragg Gleichung ist die Interferenz der elektromagnetischen Wellen. Ein weiteres Experiment, mit welchen du die Interferenz von zum Beispiel Licht zeigen kannst, ist das Doppelspaltexperiment. Schau dir unseren Beitrag zum Doppelspaltexperiment an, um zu erfahren, wie du damit die Interferenz beobachten kannst.
