Materialwissenschaften

Zustandsdiagramme – Hebelgesetze

Jetzt hast du zwar verstanden was ein Zustandsdiagramm ist aber keine Ahnung wozu man das braucht? Dann erkären wir dir das und die dazugehörigen Hebelgesetze hier:

Hebelgesetze und Mischphasen – Formel und Übung

Zuerst schauen wir uns das eutektische Diagramm nochmal genauer an.

Eutektisches Phasendiagramm
Eutektisches Phasendiagramm

Du erkennst die verschiedenen Phasen Alpha, Beta, sowie die L-Phase und die jeweiligen Mischphasen. Die Phasen sind als eine bestimmte Zusammensetzung der zwei Bindungspartner klar definiert.

Doch wie sieht das bei den Mischphasen aus? Dafür überlegen wir uns, wie sich die Gesamtkonzentration C null in einer Mischphase an einer bestimmten Stelle zusammensetzt. Es gibt zum einen die Konzentration der Phase eins „C eins“ und zum anderen die Konzentration der Phase zwei „C zwei“.

Doch Vorsicht, wir können diese nicht einfach addieren! Bevor wir das machen, müssen wir sie noch mit den jeweiligen relativen Anteilen f der beiden Phasen multiplizieren. Damit erhalten wir für die Gesamtkonzentration C null:

c_0=\ f_1\bullet c_1+\ f_2\bullet c_2

Die Anteile der beiden Phasen sind dabei per Definition in Summe immer gleich eins:

\ f_1+f_2=1

Hebelgesetze Formel
Hebelgesetze Formel

Hebelgesetze Formel

Mit diesem Wissen können wir uns jetzt auch schon die Hebelgesetze herleiten. Dabei geht es meistens darum, die relativen Anteile f einer Phase zu bestimmen. Wir wollen die Gleichung der Hebelgesetze also nach einem f umstellen (siehe Bild).
Wir haben also den relativen Anteil „f zwei“ eliminiert und können jetzt nach „f eins“ umstellen.

Berechnung Hebelgesetz

 

Es ergibt sich somit für die Hebelgesetze:

f_1=\ \frac{c_0-c_2}{c_1-c_2}

Analog dazu können wir für „f zwei“ vorgehen und erhalten:

f_1=\ \frac{c_0-c_1}{c_2-c_1}

Um die Hebelgesetze Formel für einen konkreten Fall anzupassen, ersetzen wir einfach die Indizes mit den gewünschten Phasen. Für die Alpha-Beta-Phase unseres Diagramms ergibt sich beispielsweise:

f_\alpha=\ \ (c_0-c_\beta)/(c_\alpha-c_\beta\ )

Hebelgesetze Übung

Für unser Beispiel nehmen wir das bei einem Diagramm aus Kupfer und Nickel, sprich mit einer L- und einer Alpha Phase. Wir wollen herausfinden, wie die Anteile der beiden Phasen bei einer Konzentration von 60 Prozent Kupfer und 1.200 Grad Celsius sind.

  • Im Phasendiagramm kannst du das c null, das 60 Prozent Kupfer beträgt, auf die X-Achse eintragen. Das ist die zusammengesetzte Konzentration der beiden Phasen.
  • Jetzt gehen wir von c null aus senkrecht nach oben, bis wir die gewünschte Temperatur von 1.200 Grad Celsius erreicht haben.
  • Hier zeichnen wir eine Orthogonale, bis wir auf beiden Seiten die Solidus- beziehungsweise Liquiduslinie berühren.
Hebelgesetze im Phasendiagramm
Hebelgesetze im Phasendiagramm veranschaulicht

Um zu verstehen, warum man das nun als Hebelgesetz bezeichnet, musst du die beiden Anteile ins Verhältnis setzen:

\frac{f_\propto}{f_L}=\ \frac{c_0-c_L}{c_\propto-c_0}=\ \frac{c_L-c_0}{c_0-c_\propto}

Im Diagramm erkennst du den Zähler links und den Nenner rechts von der Gesamtkonzentration. Das sind unsere beiden Hebel, vergleichbar zum mechanischen Hebelgesetz bei Drehmomenten. An den Enden der beiden Hebel kannst du die Konzentrationen der beiden Phasen ablesen.
Ein genaues Ergebnis ist selbst bei gezeichneten Diagrammen oft schwierig abzulesen. Das ist allerdings nicht so schlimm. Denn um das Gesetz zu verstehen, reicht uns eine Annäherung. Auf der linken Seite können wir die Konzentration der Phase Alpha bei ungefähr 50 Prozent ablesen, rechts liegt die L-Phase bei ungefähr 77 Prozent. Setzen wir das in unsere Formel für die Anteile ein, erhalten wir:

f_\alpha=\ \frac{c_0-c_L}{c_\alpha-c_L}=\ \frac{0,60-0,77}{0,50-0,77}=0,63

Und:

f_L=\ \frac{c_0-c_\propto}{c_L-c_\alpha}=\ \frac{0,60-0,50}{0,77-0,50}=0,37

Der Anteil an der Alpha-Phase ist deutlich höher. Eigentlich auch logisch, oder? Wir befinden uns im Diagramm ja auch viel näher an der Alpha-Phase. Zur Kontrolle addieren wir noch die beiden Anteile und erhalten:

f_1+f_2=0,63+0,37=1

Super! Jetzt kannst du die Anteile der Mischphasen in allen Zustandsdiagrammen bestimmen.

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