Materialwissenschaften

Millersche Indizes – Gitterebenen

Neben dem Aufbau sind vor Allem die Richtungen und Ebenen einer Kristallstruktur wichtig. Kannst du mit damit noch nichts anfangen? Dann wird dir unser Beitrag zu den Miller Indizes sicher weiterhelfen!

Durch Millersche Indizes Richtungen und Ebenen bestimmen – Beispiel und Erklärung

Kristallstruktur Ebenen und Richtungen lassen sich durch sogenannte Millersche Indizes, im Englischen Miller indices, vereinfacht darstellen. Hier geben wir dir hilfreiche Infos, Formeln und Rechenschritte zur Bestimmung dieser Miller Indizes.

1. Millersche Indizes bestimmen: Schnittpunkte

Als erstes betrachten wir die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Wir beschreiben diese mit einem Vielfachen der Basisvektoren a1, a2 und a3. Es ergibt sich also:

Miller Indizes Vektoren
Skizze

Aus der Skizze erkennen wir, dass alpha = 3, beta = 1 und gamma = 2 ist. Damit haben wir auch fast schon die Millerschen Indizes bestimmt. Denn jetzt musst du nur noch die Kehrwerte der erhaltenen Zahlen bilden. Diese liefern die Miller Indizes h, k und L zu:

h = 1/3, k = 1, l = ½

2. Millersche Indizes Kehrwerte multiplizieren

Jetzt wird es noch mal etwas kompliziert: Wir müssen die Werte der Miller Indizes erst mit einem gemeinsamen Faktor multiplizieren, um sie ganzzahlig zu machen.

Wir suchen also das kleinste, gemeinsame, Vielfache. Du hast bestimmt schon erkannt, dass wir die Werte mit 6 multiplizieren müssen und erhalten damit: h = 2, k = 6, l = 3 Die Ebene lässt sich also als (263) – Ebene bezeichnen.

Millersche indizes
Schritt 2 zur Bestimmung der Miller Indizes

Wenn h zum Beispiel den negativen Wert minus zwei annehmen würde, musst du es mit einem Strich versehen. Du erkennst vielleicht, dass verschiedene Ebenen die gleiche Bezeichnung haben können. Wenn wir beispielsweise Ebenen betrachten, die nur die X-Achse schneiden, aber jeweils um einen Wert versetzt liegen, erhalten wir für die Schnittpunkte mit den anderen beiden Achsen die Werte unendlich. Bei der Betrachtung der Kehrwerte hat also nur h Relevanz und der Multiplikationsfaktor wird dementsprechend so gewählt, dass h gleich eins wird. Du kannst dir unter der Bezeichnung (100) – Ebene also eine Ebenenschar vorstellen, jeweils um einen bestimmten Wert versetzt.

 

3. Millersche Indizes: Abstand der Ebenen einer Ebenenschar

Diesen Abstand können wir im kubischen System mit Hilfe der Indizes auch ganz leicht bestimmen, er ergibt sich zu:

d_{hkl}=\ \frac{a}{\sqrt{(h^2\ +\ k^2+\ l^2)}}

Dabei beschreibt a die Kantenlänge unseres Würfels.

Das sind also die Rechenschritte zur Bestimmung der Miller Indizes. Aber wie sieht das an einem konkreten Beispiel aus?

Beispiel: Millersche Indizes bei Aluminium

Nehmen wir nun an, bei dem betrachteten Gitter handelt es sich um eine kubisch-flächenzentrierte Struktur mit einem Aluminium -Atom als Basis.  Der Abstand zweier Atome und damit die Kantenlänge sind dir meist gegeben. Für Aluminium gilt: a=4,05\ \dot{A}

Der Abstand der Netzebenen ergibt sich damit zu:

d_{hkl}=\ \frac{4,05\ \dot{A}\ }{\sqrt{(2^2\ +\ 6^2+\ 3^2)}}=0,5786\ \dot{A}

Miller Indizes Aluminium
Millersche Indizes Beispiel- Aluminium

Aus der Ebene hkl kannst du jetzt noch ganz einfach den Normalenvektor herleiten.

Dieser steht senkrecht auf der Ebene und hat die identischen Werte hkl, nur wird dieser wie eine Richtung in eckigen Klammern angegeben. Richtungen werden allgemein über den Vektor g=ha_1+\ ka_2+la_3 beschrieben. h, k und l sind dabei ganzzahlig.

Richtungen zusammenfassen bei gleicher Symmetrie

Du kannst Richtungen auch zusammenfassen, wenn diese die gleiche Symmetrie besitzen. Damit kannst du dir viel Zeit und Arbeit sparen! Du benutzt wieder die Werte hkl, anstatt mit einer Klammer schreibst du sie allerdings so: „<>“

Stell dir zur Verdeutlichung wieder einen Würfel vor. Mit der Richtung <100> kann man alle Würfelkanten beschreiben, da diese die gleiche symmetrische Anordnung haben. Für Ebenen gibt es einen äquivalenten Ausdruck, die Werte werden dabei jedoch in geschweifte Klammern gesetzt. Das kann beispielsweise so aussehen: {100}

Wie du siehst sind Millersche Indizes nicht nur wichtig- sondern auch super einfach, oder?

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