Potenzregeln
Du willst die wichtigsten Potenzregeln auf einen Blick sehen, um Potenzen vereinfachen zu können? Hier und in unserem Video zeigen wir sie dir anhand von vielen Beispielen!
Inhaltsübersicht
Potenzregeln einfach erklärt
Bevor du dir die Potenzregeln anschaust, solltest du wissen, was Potenzen überhaupt sind: Eine Potenz ist eine kurze Schreibweise, die du immer dann benutzt, wenn du eine Zahl öfter mit sich selbst malnimmst.
![\[\textcolor{orange}{2}^{\textcolor{teal}{5}} = \underbrace{\textcolor{orange}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}_{\text{\textcolor{teal}{5} mal}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-928ee1eadd08460bbd3bf275218f183f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die 2 ist die Basis der Potenz. Die 5 nennst du Exponent.
Exponentialregeln helfen dir, Potenzen zu vereinfachen und mit ihnen zu rechnen. Schau dir die Übersicht der wichtigsten Potenz Regeln an.
Potenzregeln mit gleicher Basis
Welche Potenz Regeln benutzt du, wenn die Basis gleich ist und die Exponenten unterschiedlich? Das siehst du jetzt!
Regeln der Potenzrechnung: Multiplikation
Wenn zwei Potenzen dieselbe Basis haben und multipliziert ( · ) werden sollen, kannst du die Basis stehen lassen und die Exponenten addieren ( + ).
Beispiel: 23 · 25 = 23+5 = 28 = 256
Diese Regel kannst du leicht nachvollziehen. Stell dir einfach vor, du schreibst die Potenz in Langform auf:
23 · 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28 = 256
Multiplizierst du Potenzen mit gleicher Basis, lässt du die Basis stehen und addierst die Exponenten. Beispiel: 42 · 43 = 42+3 = 45 = 1.024
allgemein: an · am = an+m
Regeln der Potenzrechnung: Division
Wenn du Potenzen mit gleicher Basis und unterschiedlichen Exponenten teilen ( : ) willst, lässt du eine Basis stehen und subtrahierst ( – ) die Exponenten.
Beispiel: 45 : 42 = 45–2 = 43 = 64
Die Potenzregel kannst du dir ganz einfach erklären. Stell dir vor, du schreibst die Potenzen in Langform im Bruch auf und kürzt dann:
![\[4^{\textcolor{red}{5}} : 4^{\textcolor{blue}{2}} = \frac{4^{\textcolor{red}{5}}}{4^{\textcolor{blue}{2}}}= \frac{\textcolor{red}{4 \cdot 4 \cdot4 \cdot4 \cdot4 }}{\textcolor{blue}{4 \cdot4 }} = 4^{\textcolor{red}{5} -\textcolor{blue}{2}} = 4^{3}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cc0cd247107d4883c30c3f5b2b2d3e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
So kannst du auch Brüche mit Potenzen vereinfachen.
Dividierst du Potenzen mit gleicher Basis, lässt du die Basis stehen und subtrahierst die Exponenten. Beispiel: 24 : 23 = 24–3 = 21 = 2
allgemein: an : am = an–m
Potenz einer Potenz
Welche Potenz Regeln benutzt du, wenn eine Potenz eine weitere Hochzahl hat? Du lässt die Basis stehen und nimmst die Exponenten mal.
Beispiel: (72)3= 72·3 = 76 = 117.649
In Langform schreibst du (72) · (72) · (72) = 72+2+2 = 76.
Potenzierst du eine Potenz, lässt du die Basis stehen und multiplizierst die Exponenten. Beispiel: (24)3= 2 4·3 = 212 = 4.096
allgemein: (an)m= an·m
Potenzregeln mit gleichem Exponenten
Welche Exponenten Regeln du benutzt, wenn die Basis unterschiedlich und die Exponenten gleich sind, siehst du hier:
Regeln der Potenzrechnung: Multiplikation
Wenn zwei Potenzen denselben Exponenten haben und mal genommen werden sollen, dann multiplizierst du die Basen und benutzt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl.
Beispiel: 34 · 54 = (3 · 5)4 = 154 = 50.625
In Langform schreibst du (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) = 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 = 50.625
Multiplizierst du Potenzen mit gleichem Exponenten, nimmst du nur die Basen mal und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen. Beispiel: 23 · 63 = (2 · 6)3 = 123 = 1.728
allgemein: an · bn = (a · b)n
Regeln der Potenzrechnung: Division
Teilst du unterschiedliche Basen mit gleichem Exponenten, benutzt du folgende Exponenten Regel: Du dividierst ( : ) die Basen und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen.
Beispiel: 64 : 34 = (6 : 3)4 = 24= 16
In Langform schreibst du (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
Dividierst du Potenzen mit gleichem Exponenten, teilst du die Basen und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen. Beispiel: 125 : 35 = (12 : 3)5 = 45 = 1.024
allgemein: an : bn = (a : b)n
Potenzgesetze Übersicht
Hier haben wir dir eine Potenzgesetze Übersicht zusammengestellt:
| Beispiel | Regel | Erklärung |
|
25 • 23= |
xa • xb = |
Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst, |
|
23 • 43 = |
an • bn = |
Wenn du zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten multiplizierst, |
| 25 : 23 = 25–3 = 22 |
xa : xb = xa–b |
Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis dividierst, |
|
63 : 23 = |
an : bn = |
Wenn du zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten dividierst, |
|
(25)3 = |
(xa)b = |
Wenn zwei Exponenten hintereinanderstehen, kannst du die Exponenten multiplizieren. |
Potenzgesetze Aufgaben
Jetzt kannst du Potenzen vereinfachen! Du willst die Potenzgesetze üben? Hier haben wir verschiedene Aufgaben für dich vorbereitet, mit denen du die Potenz Regeln super verinnerlichen kannst!
