Heron Verfahren

Was ist das Heron-Verfahren?

Das Heron-Verfahren ist eine Methode, um die Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen. Dabei handelt es sich um ein sogenanntes Iterationsverfahren. Das bedeutet, dass du mit einer geschätzten Zahl startest und die Schätzung in mehreren Schritten verbesserst. Das Verfahren ist besonders hilfreich, wenn du die Quadratwurzel ohne Taschenrechner finden willst. 

Tipp: Bei Quadratwurzeln mit glattem Ergebnis wie beispielsweise = 2, = 3 oder = 4 musst du den Heron-Algorithmus nicht anwenden.

Heron-Verfahren — Berechnung

Du nutzt das Heron-Verfahren besonders dann, wenn du die Quadratwurzel einer Zahl berechnen musst, die kein glattes Ergebnis hat. Um das Heron-Verfahren anzuwenden, brauchst du folgende Formel:

x_n+1 =

Dabei ist x_n dein aktueller Näherungswert und S die Zahl, deren Quadratwurzel du berechnen möchtest. Wie du das Heron-Verfahren anwendest, zeigen wir dir jetzt anhand der Quadratwurzel von 10.

Wichtig: Beim Heron-Algorithmus erhältst du selten glatte Zwischenergebnisse. Deshalb rundest du oft. Wir haben in dieser Aufgabe auf 4 Nachkommastellen gerundet.

1. Schritt: Startwert wählen
   Um einen guten Startwert x₀ zu finden, brauchst du die Formel x₀ = . Für S = 10 ergibt das:
    
   x₀ = = 5,5
    
   
2. Schritt: Erste Näherung
   Jetzt, da du einen Startwert hast, kannst du das Heron-Verfahren verwenden, um deine erste Näherung x₁ zu erhalten. Setzte dafür x₀ und dein S in die Formel ein.
    
   x₁ = = 3,6591
    
   
3. Schritt: Zweite Näherung
   Diesen Vorgang wiederholst du jetzt mit der gleichen Formel. Du setzt wieder S ein und dieses Mal x₁.
    
   x₂ = = 3,1961
    
   
4. Schritt: Dritte Näherung
   Nun wiederholst du den Vorgang ein letztes Mal, mit S und x₂.
    
   x₃ = = 3,1626

Du siehst also, die Quadratwurzel von 10 nähert sich immer näher an den Wert 3,1626 an. Theoretisch könntest du noch mehr Näherungen durchführen, doch das Ergebnis verändert sich irgendwann kaum mehr. Deshalb führst du normalerweise nicht mehr als drei Näherungen durch.

Heron-Verfahren — Beispiel

Nun berechnen wir ein weiteres Beispiel, damit du das Heron-Verfahren weiter üben kannst. Dieses Mal berechnen wir die Quadratwurzel von 20.

1. Schritt: Startwert wählen
   Zuerst berechnest du einen guten Startwert mit der Formel x₀ = . Für S = 20 erhältst du:
    
   x₀ = = 10,5
    
   
2. Schritt: Erste Näherung
   Jetzt berechnest du den ersten Näherungswert x₁.
    
   x₁ = = 6,2024
    
   
3. Schritt: Zweite Näherung
   Diesen Schritt wiederholst du für deinen zweiten Näherungswert x₂.
    
   x₂ = = 4,7134
    
   
4. Schritt: Dritte Näherung
   Eine letzte Näherung x₃ und schon bist du fertig!
    
   x₃ = = 4,4780

Und damit erhältst du 4,4780 näherungsweise als Ergebnis für die Quadratwurzel von 20.

Heron-Verfahren — häufigste Fragen

• Was ist das Heron Verfahren?
  Das Heron-Verfahren ist eine Methode zur Berechnung von Quadratwurzeln. Dafür schätzt du ein Ergebnis und näherst dich mit einer Formel immer näher dem tatsächlichen Ergebnis an.
   
• Wer hat das Heron-Verfahren erfunden?
  Das Heron-Verfahren wurde von dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria aus dem 1. Jahrhundert erfunden.

Wurzelrechnung

Jetzt weißt du, wie du Quadratwurzeln ohne Taschenrechner ausrechnen kannst, super! Wenn du deine Erinnerungen zu den anderen Rechenregeln der Wurzelrechnung auffrischen willst, findest du hier den passenden Beitrag.